Problemas para encontrar el límite superior de una determinada suma.

Question

Me he encontrado con el siguiente problema y tengo curiosidad por saber cómo resolverlo.

$\textrm{Given }a_{n+1} = a_{n}(1 - \sqrt{a_{n}}) \textrm{, where } a_{i} \in (0,1) \textrm{, } i = \overline{1,n}$

He demostrado que $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ es decreciente y ahora tengo que demostrar que el límite superior de

$b_{n} = {a_{1}^2} + {a_{2}^2} + \cdots + {a_{n}^2}$ est $a_{1}$ .

No tengo ni idea de cómo hacerlo. Lo he intentado de todas las formas posibles pero sólo consigo algo como

$b_{n} < {n}\cdot{a_{1}^2}$ o $b_{n} < {n}\cdot{(1-\sqrt{a_{1}})^2}$

que ni siquiera se acerca a lo que debe ser el límite superior. Me parece que es un truco común que hay que utilizar para resolver esto, pero no lo encuentro.

Answer 1

Tenga en cuenta que $a_n>0$ para cualquier $n$ tenemos $$ a_{n+1} = a_n(1-\sqrt{a_n})\frac{1+\sqrt{a_n}}{1+\sqrt{a_n}} = \frac{a_n(1-a_n)}{1+\sqrt{a_n}} < a_n(1-a_n) = a_n - a_{n}^{2}. $$ Por lo tanto, obtenemos $$ a_1 > a_2 + a_{1}^{2} > \ldots> a_n + a_{n}^2 + \ldots + a_{1}^{2} > a_{n}^2 + \ldots + a_{1}^{2}. $$

Answer 2

Iniciamos el $n$ . Esto es claramente cierto cuando $n=1$ como $a_1^2\leq a_1$ .

Supongamos que esto es cierto para una secuencia de longitud $n$ . Demostrémoslo para una secuencia de longitud $n+1$ .

Observamos que $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2+a_{n+1}^2=a_1^2+\left(a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2+a_{n+1}^2\right)$ donde la parte entre corchetes es una secuencia de longitud $n$ .

$a_2^2+a_3^2\dots+a_{n+1}^2$ es una secuencia de longitud $n$ si reetiquetamos $a_i$ como $a_{i-1}$ , quedaría como $a_1^2+a_2^2\dots+a_n^2$ . Esto puede hacerse ya que la secuencia se define recursivamente, con $a_{i+1}$ dependiendo únicamente de $a_i$ de la misma manera $a_{i+2}$ depende de $a_{i+1}$ es independiente de la posición de la secuencia $a_i$ es.

Por hipótesis de inducción, tenemos $\left(a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2+a_{n+1}^2\right)\leq a_2$ .

Por lo tanto, basta con demostrar que $a_1^2+a_2\leq a_1$ .

Sustituyendo el valor de $a_2$ tenemos $a_1^2+a_1\left(1-\sqrt{a_1}\right)\leq a_1$ .

Esto se reduce a $a_1^2\leq a_1\sqrt{a_1}$ lo que es cierto ya que $a_1\in(0,1)$ .

Por inducción matemática, esto es cierto para todos los $n$ .