¿Por qué es verdad $D^{n+1}/S^{n} = S^{n+1}$?

Question

Fui a mi primera conferencia en Topología Algebraica y logró llegar realmente confundido. Parece que se supone que la siguiente declaración es "obvia":

$D^{n+1}/S^{n} = S^{n+1}$

Donde $D^{n}$ es la unidad de disco/de la bola en $\mathbb{R}^{n}$ $S^{n}$ es la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^{n+1}$.

La notación $X/A$ es, según lo que pude entender, una forma de denotar que $A\subseteq X$ colapso a un punto. Entonces dividimos $X$ en clases de equivalencia, donde los puntos en $A$ están en la misma clase de equivalencia y los puntos de $X-A$ se encuentra en su "propia" clase de equivalencia.

Mis preguntas:

• ¿Por qué es esta afirmación verdadera? y do $=$ indican que existe una homeomorphism entre los dos espacios?

Answer 1

Sí, $=$ se utiliza para denotar "es homeomórficos a", que es una (ligera) el abuso de notación, realmente la notación $\cong$ debe ser utilizado, pero no es un gran problema aquí.

Intuitivamente, creo que el hecho de $D^{n+1}/S^n\cong S^{n+1}$ a ser bastante claro. Como es habitual en matemáticas, no puede ser capaz de ver a un gran número de dimensiones, pero podemos obtener una buena intuición de las dimensiones que podemos visualizar. Sin duda, el colapso de la $S^0$ (los puntos de $1$$-1$) $D^1=[-1,1]$ produce un círculo. Y aquí es una buena visualización para $n=1$:

              

Debe quedar claro que, en general, el colapso de la "punta de lanza" de un disco a un punto, y dejando todo lo demás de la misma, "cierra" el disco dentro de una esfera de la siguiente dimensión más alta.

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\documentclass{independiente}
\usepackage{tikz}
\tikzstyle{mypoint}=[interior de la sep=0pt,exterior, sep=0pt,tamaño mínimo=5pt,relleno,círculo]
\colorlet{blue1}{azul!90!white}
\colorlet{blue2}{blue1!80}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\node[mypoint] [label=285:%#%#%]  at (0,1.1) {};
\fill[color=blue2!80!gray] (0,-0.7) ellipse (1.3 and 0.6);
\draw[color=blue2!50!black,ultra thick] (0,-0.7) ellipse (1.3 and 0.6);
\begin{scope}[dashed,thick,->,shorten >=6pt,shorten =stealth]
\path (-1.3,-0.7) edge[out=90,in=180] (0,1.1);
\path (1.3,-0.7)  edge[out=90,in=0]   (0,1.1);
\end{campo}

\fill[bola de color=blue!60] (4,0) círculo (1.3);
\nodo[mypoint,blanco] [label={[blanco]285:$p$}] en (4,1.1) {};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Answer 2

He aquí una manera de establecer un hormigón homeomorphism.

La esfera de $S^{n+1}$ es homeomórficos a la $1$-punto de compactification de $\mathbb{R}^{n+1}$. Esto es atestiguado por la proyección estereográfica de los mapas. Tomar el disco a $D^{n+1} \subset \mathbb{R}^{n+1}$, el mapa de la interna abierta del disco a $\mathbb{R}^{n+1}$ (usted ha visto probablemente este hecho en un punto-establecer la topología de la clase), y el mapa de la frontera de $D^{n+1}$ ($S^{n}$ por definición) hasta el punto en el infinito. Esto no es inyectiva, pero si se define el mismo mapa en $D^{n+1} / S^{n}$, este mapa es bijective y continuo (no es muy difícil de ver, recordar que los conjuntos son abiertos en el compactified $\mathbb{R}^{n+1}$), y va de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff, por lo tanto es un homeomorphism (otro estándar de punto-conjunto de resultados).

Otra idea:

Es relativamente fácil demostrar que la esfera es dos discos pegados en sus límites.

Deje $X_1$ ser un disco interior de la mitad del radio de $D^{n+1}$ dentro $D^{n+1}/S^{n}$. Deje $X_2 = D^{n+1}/S^{n} - X_{1}$. Sabemos que $X_1$ es un disco, y $X_2$ parece anular una región con colapso de la frontera. Definir un mapa de $X_2$ a un disco de la siguiente manera. Mapa de los anillos en el interior de $X_2$ a los anillos en el exterior de un disco, donde por anillos me refiero a las copias de $S^n$ definidos como conjuntos de nivel de la norma Euclídea.

Hacerlo de adentro hacia fuera, de modo que los anillos en el exterior de $X_2$ se correlacionan con pequeños anillos en el interior de un disco. Finalmente, enviar el exterior, se derrumbó límite de $X_2$ a del centro del disco. Esto es claramente un bijection. No es demasiado difícil de demostrar que es continua. Es un mapa de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff, por lo tanto, un homeomorphism, por lo $X_2$ es en realidad un disco.

Por lo tanto, $D^{n+1}/S^n$ sólo dos discos pegados en sus límites, por lo tanto es homeomórficos a $S^{n+1}$.