Construcción de grupos con un determinado subgrupo

Question

Tengo un grupo finito $H$ y un número de $n$ y quisiera construir todos los grupos $G$ orden $n$ tal que $H$ es un subgrupo de $G$. (De hecho, yo prefiero construir sólo aquellos que han $H\mathrel{\unlhd}G$ si esto es posible—de lo contrario voy a filtrar los que no son subgrupos normales.)

No sé si este es lo suficientemente simple como para hacer a mano, pero si no tengo HUECO. Mi motivación es que estoy buscando grupos con una propiedad particular, pero hay demasiados grupos de orden $2^k$ razonablemente búsqueda a través de todos ellos.

Edit: me invitaron a dar un ejemplo. Tengo varios grupos de $H$ de interés; aquí es $H_1$ en el formato generado por la BRECHA de la GapInputPcGroup:

H:=function()
    local g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,r,f,g,rws,x;
    f:=FreeGroup(IsSyllableWordsFamily,8);
    g:=GeneratorsOfGroup(f);
    g1:=g[1];
    g2:=g[2];
    g3:=g[3];
    g4:=g[4];
    g5:=g[5];
    g6:=g[6];
    g7:=g[7];
    g8:=g[8];
    rws:=SingleCollector(f,[ 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3 ]);
    r:=[
        [2,g8^2],
        [3,g5],
        [4,g5],
    ];
    for x in r do SetPower(rws,x[1],x[2]);od;
    r:=[
        [2,1,g2*g8],
        [3,1,g4],
        [4,1,g5],
        [6,1,g6*g7*g8],
        [7,1,g8],
        [8,1,g8],
        [3,2,g3*g4*g5],
        [4,2,g3],
        [6,2,g7],
        [4,3,g5],
        [6,3,g6^2*g7^2],
        [7,3,g6*g7^2],
        [6,4,g6*g7*g8^2],
        [7,4,g6],
        [6,5,g6*g8],
        [7,5,g7*g8^2],
        [7,6,g8^2],
    ];
    for x in r do SetCommutator(rws,x[1],x[2],x[3]);od;
    return GroupByRwsNC(rws);
end;
H1:=H();

$H_1$ (como $H_2$$H_3$) tiene el fin de 1296 y estoy interesado en $n$ que son pequeños múltiplos de esta orden. Su StructureDescription es$((((C_3\times C_3) : C_3) : Q_8) : C_3) : C_2$, pero esto no únicamente definen—en el hecho de $H_3$ tiene el mismo StructureDescription.

Answer 1

Su específica $H_1$ tiene suficiente estructura que las extensiones de $H_1$ por grupos pequeños son bastante controlado. Por desgracia subiendo de a $H$ $G$es menos compatible que mudarse de la $G/H$$H$, pero con $H$ tan grande en comparación a $G/H$, tiene más sentido comenzar con $H$.

Suponga que usted quisiera $G/H_1$ a ser el diedro grupo de orden 10. La siguiente BRECHA código no esta por darse cuenta de que el diedro grupo del orden de 10 tiene un mínimo subnormal subgrupo de orden 5 y por encima de una composición factor de orden 2.

# Get access to "CyclicExtensions"
gap> LoadPackage("GrpConst");;

# convert input to a form CyclicExtensions likes
gap> h := Image( IsomorphismPermGroup( H1 ) );;

# make larger groups K with [K:h] = 5
gap> h5s := CyclicExtensions( h, 5 );;

# make even larger groups G with [G:K]=2, so [G:h] = 10
gap> h52s := Concatenation( List( h5s, x -> CyclicExtensions( x, 2 ) ) );;

# make even larger groups? choose another prime
# gap> h522s := Concatenation( List( h52s, x -> CyclicExtensions( x, 2 ) ) );;

# Fancy code for solvable groups -- removes duplicates
gap> nodupes := List( RandomIsomorphismTest(
> List( h52s, g -> rec(code:=CodePcGroup(g), order:=Order(g) ) ), 7),
> r -> PcGroupCode(r.code, r.order) );;

Ahora tenemos una lista de posibles G. podemos elegir lo que nos gusta sin embargo nos gusta, pero por ejemplo si queríamos $G/H$ a ser diedro, podemos proceder de la siguiente manera:

gap> AbelianInvariants( h );
[ 2 ]
gap> List( nodupes, AbelianInvariants );
[ [ 2, 2, 5 ], [ 2, 2 ] ]
gap> hd10 := nodupes[2];; # Where did the 5 come from? Ah, G/H was cyclic not dihedral
# Now find the copy of h in there, notice the weird order
# Also, we only find one injection, but there are two distinct injections
gap> inj:=IsomorphicSubgroups( hd10, h :findall:=false)[1];;
gap> g := hd10;; h := Image(inj,h);; StructureDescription(g/h);
"D10"

Si usted no cuenta $G/H$ siendo cíclico, entonces se podría hacer la misma idea:

gap> hc10 := nodupes[1];;
gap> inj:=IsomorphicSubgroups( hc10, h :findall:=false)[1];;
gap> g := hc10;; h := Image(inj,h);; StructureDescription(g/h);
"C10"

Como $[G:H]$ se hace más grande (sobre todo si se tiene un montón de factores), la historia de donde $G/H$ vino desde hace más complicado. Una vez $[G:H]$ es divisible por 60, estás en serios problemas: $G/H$, puede que no tengan una composición de la serie con factores cíclicos. Entonces usted está atascado con los métodos que comienzan con $G/H$ e ir "hacia abajo" a $G$ mediante la construcción de $H$'s jefe de la serie.