obligando a contable cerrado no puede Agregar una rama a un árbol de % de $\aleph_2$si $\neg\mathsf{CH}$

Question

Estoy leyendo esta encuesta. En ella el autor establece el siguiente resultado (hecho 5.3) que se atribuye a la plata:

Si $2^{\aleph_0}>\aleph_1$, contable cerrado obligando a no puede Agregar una nueva rama a un $\aleph_2$-árbol.

No puedo encontrar ninguna prueba de ello y no puedo subir de prueba. ¿Alguien podría dar un bosquejo de por qué esto es cierto?

Gracias

Answer 1

Deje $T$ ser un árbol de altura $\omega_2$ y deje $\mathbb{P}$ ser un poset. Suponga que el $\mathbb{P}$nombre $\dot{f}$ es forzado por la condición de $p \in \mathbb{P}$ a ser una rama a través de $T$ que no está en $V$. A continuación, podemos conseguir una perfecta árbol binario $(p_s : s \in 2^{\mathord{<}\omega})$ de las condiciones en las $\mathbb{P}$ bajo $p$ y una secuencia de números ordinales $(\alpha_n : n< \omega)$ menos de $\omega_2$ tal que para cada a $n < \omega$ y cada par de distinta $s,t \in 2^n$, las condiciones de $p_s$ $p_t$ de la fuerza de $\dot{f} \restriction \alpha_n$ a ser diferentes nodos de $T$. Deje $\alpha = \sup_{n< \omega} \alpha_n$.

Si $\mathbb{P}$ es countably cerrado, a continuación, para cada real de a $x \in 2^\omega$ hay un límite inferior $p_x$$(p_{x \restriction n} : n<\omega)$. A continuación, las diferentes condiciones de $p_x$ de la fuerza de $\dot{f} \restriction \alpha$ tomar continuum muchos valores diferentes de la $\alpha^{\text{th}}$$T$. En particular, si la continuidad es, al menos, $\omega_2$ $T$ tiene un nivel de cardinalidad $\omega_2$, por lo que no es un $\omega_2$-árbol.

Estoy seguro de que este argumento aparece en la impresión en algún lugar, pero no recuerdo donde.

Answer 2

Deje $T$ $\aleph_2$- árbol, y asumen ante la contradicción de que $b$ es una rama de la $V[G]\setminus V$.$\newcommand{\forces}{\Vdash}$

A continuación, hay algunos $\dot b$ $p\in G$ tal que $p\forces\dot b\text{ is a branch in }\check T$. Debido a $b\notin V$, sin límites de los niveles de $C\subseteq\omega_2$, que para cada una de las $\alpha\in C$ $q_0,q_1\leq p$ decide incompatible datos sobre donde $b$ cumple con la $\alpha$-ésimo nivel.

Construimos una incrustación de $2^\omega$ a $T$. Esto es imposible, debido a la anchura de la $\omega$-ésimo nivel del es $\aleph_2$, contradiciendo el hecho de que $T$ no tiene ningún nivel de más de $\aleph_1$ elementos, pero la incrustación debe estar acotada en todas partes, así que hay un nivel de con $\aleph_2$ elementos.

Para cada una de las $f\in 2^{<\omega}$ definimos $p_f\in P$$t_f\in T$. Y desde $P$ es countably cerrado cada una de las $f\in 2^\omega$ define $p_f$$t_f$.

1. Deje $p_{\langle\rangle}=p$ $t_{\langle\rangle}$ ser cualquier punto de $t\in T$ tal que $p\forces t\in\dot b$.

2. Supongamos que $p_f$ $t_f$ fueron definidos. Hay algunos $q,q'\leq p_f$ que son incompatibles y algunos $t\in T$ tal que $q\forces t\in\dot b$$q'\forces t\notin\dot b$; deje $p_{f^\frown 0}=q$$t_{f^\frown 0}=t$. Extender $q'$ un poco más a una condición de $p_{f^\frown 1}$ tal que para algunos $t_{f^\frown 1}\in T$, desde el mismo nivel que $t$ anterior, y $p_{f^\frown 1}\forces \check t_{f^\frown 1}\in\dot b$.

3. Supongamos que $f\in 2^\omega$ y cada $n\in\omega$, $p_{f\upharpoonright n}$ y $t_{f\upharpoonright n}$ fueron definidos. Deje $q$ ser una condición más fuerte que todas las $p_{f\upharpoonright n}$'s, y $p_f\leq q$ es de alguna condición que decide cuál es el elemento en $b$ desde el nivel de $\sup\{\alpha_n\mid n\in\omega\}$ donde $\alpha_n$ es el nivel de $t_{f\upharpoonright n}$.

Por cada hora de elegir extensiones incompatibles podemos asegurar que esto es de hecho una incrustación, y por la limitación de los niveles que asegurarse de que los niveles de la $t_f$'s no está acotada en el árbol. Y como se comentó antes, esto es una contradicción con el hecho de que $T$ $\aleph_2$- árbol.