Cálculo de la integral $ \lim\limits_{\epsilon\to 0} \int_{-2}^{0} \frac{e^{1/x(x+2)}}{x+1+i\epsilon} $

Question

Me quedé pegado en el cálculo de esta expresión

$$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int_{-2}^{0} \frac{e^{\frac{1}{x(x+2)}}} {x + 1 + i\epsilon} $$

Estaré agradecido por los consejos.

Answer 1

Deje $I(\epsilon)$ denotar la integral dentro del límite. Utilizando el cambio de variable $z = x+1+i\epsilon$, tenemos

$$ I(\epsilon) = \int_{-1+i\epsilon}^{1+i\epsilon} \exp\left(-\frac{1}{1-(z-i\epsilon)^2}\right) \, \frac{dz}{z}. $$

Ahora vamos a

$$ f_{\epsilon}(z) = \frac{1}{z} \exp\left(-\frac{1}{1-(z-i\epsilon)^2}\right). $$

y se supone que $\epsilon > 0$. A continuación, mediante la consideración de un contorno rectangular que consta de vértices $\pm 1$ $\pm 1 + i\epsilon$ con un superior semicircular guión $C^{-}_{\eta}$ radio $\eta > 0$ en el origen,

podemos escribir

$$ I(\epsilon) = \int_{-1+i\epsilon}^{-1} f_{\epsilon}(z) \, dz + \int_{-1}^{-\eta} f_{\epsilon}(z) \, dz + \int_{C^{-}_{\eta}} f_{\epsilon}(z) \, dz + \int_{\eta}^{1} f_{\epsilon}(z) \, dz + \int_{1}^{1+i\epsilon} f_{\epsilon}(z) \, dz. $$

Ahora es fácil para confirmar que $\left| f_{\epsilon}(z) \right| \leq 1$$\Re z = \pm 1$. Por lo tanto tomando $\epsilon \to 0^{+}$, se deduce que

$$ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} I(\epsilon) = \int_{-1}^{-\eta} f_{0}(z) \, dz + \int_{C^{-}_{\eta}} f_{0}(z) \, dz + \int_{\eta}^{1} f_{0}(z) \, dz. $$

Pero desde $f_{0}(z)$ es una función impar, la primera integral y la última integral cancelar, produciendo

$$ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} I(\epsilon) = \int_{C^{-}_{\eta}} f_{0}(z) \, dz. $$

Ahora tomando la $\eta \to 0$, tenemos

$$ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} I(\epsilon) = -i\pi \, \mathrm{Res}_{z=0} \, f_{0}(z) = -\frac{i\pi}{e}. $$

Similar consideración de rendimientos

$$ \lim_{\epsilon \to 0^{-}} I(\epsilon) = \frac{i\pi}{e}. $$