¿Cómo se pueden convertir las matrices racionales en enteras?

Question

Dejemos que $G$ sea un subgrupo finito de $GL_n(\Bbb{Q})$ . Quiero demostrar la existencia de una matriz $A\in GL_n(\Bbb{Q})$ con la propiedad de que $AGA^{-1} \subseteq M_n(\Bbb{Z})$ .

Answer 1

Hay un truco estándar aquí, que funciona para cualquier dominio ideal principal. Se busca un cambio de $\mathbb{Q}$ -que hace que las matrices que representan los elementos del grupo sean integrales. Sea $V$ sea el subyacente $\mathbb{Q}G$ -módulo, con $\mathbb{Q}$ -base $\{v_{i} : 1 \leq i \leq n \}$ . Sea $M$ sea el $\mathbb{Z}$ -submódulo de $V$ generado por los vectores en $\{ v_{i}g : 1 \leq i \leq n, g \in G \}$ . Entonces $M$ es de hecho un $\mathbb{Z}G$ -submódulo de $V$ por su construcción, porque $mg \in M$ siempre que $m \in M$ y $g \in G$ . Ahora $M$ es una torsión libre finitamente generada $\mathbb{Z}$ -por lo que tiene un $\mathbb{Z}$ -basada en la experiencia. Además $M \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q} = V$ Así que este $\mathbb{Z}$ -base tiene $n$ elementos, digamos que es $\{ m_{i} : 1 \leq i \leq n \}$ . Entonces $m_{i}g $ es un $\mathbb{Z}$ -linar combinación de $\{m_{j} : 1 \leq j \leq n \}$ para cada $i$ y cada $g \in G$ . Por lo tanto, las matrices que representan los elementos de $G$ con respecto a la $\mathbb{Q}$ -base $\{ m_{i} : 1 \leq i \leq n \}$ de $V$ son todos integrales, como se requiere.