¿Una forma de ver que $\int_{0}^{\infty}\exp(-x)dx=1$?

Question

Uno puede encontrar fácilmente la integral $\int_{0}^{\infty}\exp(-x)dx$. Es igual a 1. Pero ¿hay alguna manera de entender esto geométricamente sin integración?

Si roto la imagen veo que $\int_{0}^{\infty}\exp(-x)dx=-\int_{0}^{1}\ln(t)dt$. Tal vez haya alguna propiedad de exp o log que permita evitar la integración?

PD:

Me gustaría aceptar el método de Mamikon señalado por Jim Belk. Pero es imposible aceptar comentarios ... Así que acepto el segundo mejor.

Answer 1

El siguiente argumento utiliza solo propiedades básicas de la función exponencial y la integral, pero no el teorema fundamental del cálculo:

Sea $\int_0^\infty e^{-x}dx=:I$. Al observar una figura vemos que para cualquier $c>0$ tenemos $$I=\int_0^c e^{-x}dx +\int_c^\infty e^{-x}dx= \int_0^c e^{-x}dx + e^{-c} I$$ o $$(1-e^{-c}) I =\int_0^c e^{-x}dx\ .$$ Usando $e^{-c}\leq e^{-x}\leq1 \ \ (0\leq x\leq c)$ concluimos que $$c \ e^{-c} \leq (1-e^{-c}) I \leq c\ .$$ Ahora dividimos por $1-e^{-c}$ y dejamos que $c\to 0+$ para obtener el resultado deseado.