¿Dónde están los ceros de $\prod\limits_p (1-(p-1)^z)$ ?

Question

Defina $f(z)$ como la continuación analítica de $\prod\limits_p (1-(p-1)^z)$ donde $z$ es complejo y el producto es sobre los primos Impares $p$ . Dónde están los ceros ( $f(z)=0$ ) de esta función?

Answer 1

No hay a priori razón por la que esta función debería tener una continuación analítica en absoluto, más allá de la región de convergencia del producto.

Los resultados analíticos de la continuación son extremadamente difíciles. Por ejemplo, la continuación analítica de la hipótesis $L$ -de una curva elíptica $E/\mathbf Q$ conjeturado por Hasse, sólo se demostró como corolario del teorema de modularidad de Wiles y otros, que es el ingrediente principal de la demostración del Último Teorema de Fermat. Este $L$ -se define como un producto infinito, cuyos términos se comprenden bien individualmente, pero la continuación analítica de la función $L$ -a todo el plano complejo es un resultado muy profundo y altamente no trivial.