Cómo refutar que existe un número real $x$ con $x^2 < x < x^3$

Question

Me doy cuenta de que el único método es mostrar varios casos:

Debo hacer una prueba para $x > 1$ , $x < -1$ , $0 \leq x \leq 1$ y $-1 \leq x \leq0 $ .

Pero incluso con esto, no entiendo cómo inyectar las propiedades de estos cuatro posibles $x$ en la desigualdad (del título) para mostrar que ninguno de estos trabajos.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Si $x \le 0$ entonces no podemos tener $x^2 \lt x$ ya que $x^2 \ge 0$ para todos $x$ .

Así que ahora supongamos que $x \gt 0$ . Si $x \lt 1$ Entonces $x^3 \lt x^2$ contradiciendo una de nuestras desigualdades. Si $x \gt 1$ Entonces $x^2 \gt x$ contradiciendo la otra desigualdad. Y por supuesto si $x=1$ entonces ambas desigualdades fallan.

Observación: En realidad no necesitamos un análisis de los casos. Si la desigualdad se mantiene, entonces claramente $x \gt x^2 \ge 0$ . Pero entonces desde $x^2 \lt x$ podemos concluir que $x^3 \lt x^2$ que contradice el hecho de que $x^2 \lt x^3$ .

Answer 2

Primero deja $x^3 \gt x^2 \implies x(x+1)(x-1) \gt 0$ que tiene soluciones $(-1,0) \cup (1, \infty )$ . Ahora, tomando $x \gt x^2 \implies x(1-x) \gt0 $ que tiene la solución establecida $(0,1)$ . La intersección de estos dos conjuntos de soluciones es $ \emptyset $ . Por lo tanto, no podemos tener $x^3 \gt x^2$ y $x \gt x^2$ al mismo tiempo.

Answer 3

$ \rm { \bf Hint} \quad\rm x^{-2}(x^2 < x^3)\ \Rightarrow\ 1 < x\ \Rightarrow\ x < x^2\ \Rightarrow\Leftarrow\ x > x^2$

Answer 4

Otra forma de probarlo es restar $x^2$ de cada término. Entonces tienes $$0 < x-x^2 < x^3-x^2$$ eso es, $$0<x(1-x)<x^2(x-1)$$ Ahora $x^2>0$ por lo que debemos tener $x-1>0$ . Pero entonces $1-x<0$ y por lo tanto, tener $x(1-x)>0$ también necesitamos $x<0$ . Pero entonces $x-1<-1<0$ en contradicción con $x-1>0$ .

Answer 5

Para que la desigualdad total sea verdadera, ambas mitades deben ser verdaderas. Tomemos $x^2 < x$ primero. Para cualquier $x<0$ , $x^2 > x$ porque $x^2 = |x|^2$ todos los cuadrados no son negativos y por lo tanto son mayores que cualquier raíz negativa. Para cualquier $x>1$ , $x^2>x$ . Eso significa que los únicos valores para los cuales la primera desigualdad es verdadera es donde $0 < x < 1$ .

Así que, para que toda la desigualdad sea cierta, $x < x^3$ para algunos $0<x<1$ sin embargo, $x^3$ se comporta de la misma manera $x^2$ en este rango, por la misma razón; multiplicando cualquier $0<x<1$ por cualquier otro $0<y<1$ (incluyendo $x=y$ ) resultará en un número $z$ de tal manera que $z < x$ y $z < y$ así que cualquier $x^n < x$ cuando $0<x<1$ y por lo tanto la desigualdad nunca puede sostenerse para cualquier $x$ .