Para cada espacio $X$, $C_p(X)$ es un Grupo topológico.

Question

Trato de mostrar que para cada espacio $X$, $(C_p(X), +)$ donde $$+:C_p(X)\times C_p(X)\to C_p(X):(f,g)\mapsto f+g$$ and for every $x\in X$, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ es un Grupo topológico.

La familia $$\{O(f, x_1,\ldots, x_n, \epsilon) : n \in\Bbb N, x_1,\ldots, x_n \in X,\epsilon > 0\}\;,$$ Where $% $ $O(f, x_1,\ldots, x_n,\epsilon) =\{g \in C_p(X) : \vert g(x_i)- f(x_i) \vert<\epsilon \; \text{for all }i\leq n\}$es una base local de $C_p(X)$ $f$. ¿Cómo podemos mostrar que la función inversa es continua?

Answer 1

Como Daniel, señaló en su comentario, el espacio del producto $\Bbb K^X$, que coincide con el espacio de todas las funciones $X\to \Bbb K$ dotado de la topología de pointwise convergencia, forma un grupo topológico a través de pointwise la suma y la negación. $$\requieren{AMScd} \begin{CD} \Bbb K^X×\Bbb K^X @>+>> \Bbb K^X \\ @VVε_x×ε_xV @VVε_xV \\ \Bbb K×\Bbb K @>+>> \Bbb K \end{CD}$$ Para mostrar esto, podemos utilizar la característica universal de la topología producto en $\Bbb K^X$ como la topología inicial con respecto a todas las evaluaciones $\varepsilon_x:f\mapsto f(x)$ donde $x$ rangos de los puntos en $X$. La parte superior del mapa en la conmutativo el diagrama de arriba es continua si $+(ε_x×ε_x)$ es. Pero este mapa es continuo desde $ε_x$ $+$ son continuas.
Una similar diagrama muestra que la negación de asignación de $-:\Bbb K^X \to \Bbb K^X$ es continua. Tenga en cuenta que este método funciona para cualquier grupo topológico $\Bbb K$, no sólo por $\Bbb R$.

Ahora $C(X)$ es un subgrupo de $\Bbb K^X$, que dotado de la topología de subespacio es de nuevo un grupo topológico.