Entero $2 \times 2$ matrices tales que $A^n = I$

Question

Una pregunta anterior que hoy motiva esta ligera variante:

Para qué números naturales $n$ ¿existe un no-identidad entero $2\times 2$ matriz $A$, de tal manera que $A^n = I$? (Y vamos a decir $A^k \ne I$$|k| < |n|$, también.)

Claramente hay soluciones para $n=2,3$, debido a $(-I)^2 = I$, y para $n=3$ hemos $\left( \begin{smallmatrix} -2 & 1\\ -3 & 1 \\\end{smallmatrix} \right)$

La solución para $n = 3$ me sugiere que algo que impliquen el algoritmo de euclides pueden entrar en juego...y el hecho de que el determinante es $\pm 1$ sugiere que esto es realmente un $SL(2, \mathbb Z)$ (o $PSL(2, \mathbb Z)$)problema...pero es un grupo que yo soy muy ignorante acerca de.

Para$n = 4$,$\left( \begin{smallmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \\\end{smallmatrix} \right)$. Y a la derecha acerca de que hay me he quedado sin ideas.

Answer 1

Para $n=6$ no $\left( \begin{smallmatrix} 2 & -1\\ 3 & -1 \\\end{smallmatrix} \right)$, no es de extrañar. Y estas son las únicas $n$, incluso si usted permite racional entradas en lugar de sólo números enteros.

Supongamos que $A^n=I$ pero $A^k\ne I$$k<n$. Entonces, el polinomio mínimo de a $A$ divide $x^n-1$ pero no dividen $x^k-1$$k<n$. De ello se desprende que el polinomio mínimo de a $A$ divide el $n$th cyclotomic polinomio $\Phi_n(x)$. Pero que el polinomio es irreducible sobre los racionales, y por lo que el polinomio mínimo de a $A$ es igual a $\Phi_n(x)$. Finalmente, el polinomio mínimo de a $A$ tiene un grado en la mayoría de las $2$, ya que se puede dividir el polinomio característico de a $A$ por la de Cayley-Hamilton teorema. Por lo tanto, la degre de $\Phi_n$ es en la mayoría de las $2$, lo que significa que $\phi(n)$ es en la mayoría de las $2$, y por lo $n\in\{1,2,3,4,6\}$.

Answer 2

$n=6$ es otra posibilidad: que $A$ ser cualquier matriz con % polinomio característico $X^2 - X + 1$.

Hay no hay otras posibilidades, porque el % polinomio característico $p$$A$tiene grado $2$. Si $A$ tiene orden multiplicativo $n$, $p$ debe ser un polinomio ciclotómicas, que tiene grado de $2$ solamente para $n\in \{1,2,3,4,6\}$.

Answer 3

$$R_{\theta}=\begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta& cos \theta \end{bmatrix}\\$$if $$R_{\theta+2k\pi}=R_{\theta}\\(R_{\theta})^n=R_{n\theta}\\\theta=\frac{2k\pi}{n} \rightarrow (R_{\theta})^n=R_{n\theta}=R_{n\frac{2k\pi}{n}}=R_{2k\pi}=I $$