Valor esperado de 2 distribuciones de Poisson

Question

Que $X$ $Y$ ser independientes variables de al azar de Poisson con parámetros $\lambda$ y $\mu$.

Tengo que calcular $E((X+Y)^2)$.

Lo que hice: $E[(X+Y)^2]=E[X^2]+E[Y^2]+2EXEY$

Sé que $2EXEY=2\lambda\mu$, pero no sé cómo calcular los valores esperados cuadrados.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Indirecta: $X+Y$ es una variable de Poisson con parámetro $\lambda+\mu$.

Detalles:

de hecho, Es de $^ {X + Y} = Es ^ XEs ^ Y = \sum_k \exp(-\lambda)\frac {\lambda ^ k} {k}! s ^ k \sum_l \exp(-\mu)\frac {\mu^l} {l}! s ^ l \\ = \exp \exp (\lambda(s-1)) (\mu(s-1)) = \exp ((\lambda+\mu)(s-1))$$

Entonces $$E [(X+Y) ^ 2] = Var(X+Y) + [E(X+Y)] ^ 2 = (\lambda+\mu) + (\lambda+\mu)^2$$

Answer 2

Supongamos que $X\sim\mathrm{Pois}(\lambda)$. Entonces $\operatorname{Var}X=\operatorname EX ^ 2-(\operatorname EX) ^ 2 = \lambda. Por lo tanto$$,$$\operatorname EX ^ 2 = \lambda + \lambda^2.$$

Answer 3

$Var(X)=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-2E[X]\mu+\mu^2=E[X^2]-(E[X])^2$

$E[X^2]=Var(X)+(E[X])^2$

Para la distribución de Poisson tiene:

$E[X^2]=\lambda+\lambda^2$

Ahora hacer lo mismo para Y y eso es todo...