Condiciones de contorno subdiferencial: Pruebas con funciones $L^2$ or $H^{1/2}$

Question

Mi pregunta fue esencialmente esta: ¿Hace alguna diferencia si pruebo condiciones de frontera subdiferenciales con funciones de $L^2(\Gamma)$ o $H^{1/2}(\Gamma)$?

A continuación, formularé la pregunta de manera más precisa después de introducir la notación necesaria y proporcionar una motivación.

Sea $\Omega \subset \mathbb R^d$ un dominio y $\Gamma$ sea su frontera. Asumamos también que tenemos una función convexa (propia, semicontinua inferior) $\phi \colon \mathbb R^d \to \mathbb R \cup \{\infty\}$.

Ahora podemos definir un funcional convexo $j \colon L^2(\Gamma)^d \to \mathbb R$ mediante $$ j(v) = \begin{cases} \int_\Gamma \phi(v(x))\,dx & \text{si $\phi(v) \in L^1(\Gamma)$,}\\ \infty & \text{en otro caso.} \end{cases} $$ Para que una función $f \in L^2(\Gamma)$ se encuentre en la subdiferencial de este funcional $j$ en un punto $u$ es equivalente, por definición, a la condición $$ \tag A f \in L^2(\Gamma) \colon \quad j(v) \ge j(u) + (f,v-u) \quad \forall v \in L^2(\Gamma) $$ Uno podría querer restringir $j$ al subespacio $H^{1/2}(\Gamma)^d \subset L^2(\Gamma)^d$ y considerar una inclusión subdiferencial para esta restricción, lo que lleva a la condición $$ \tag B f \in H^{-1/2}(\Gamma) \colon \quad j(v) \ge j(u) + (f,v-u) \quad \forall v \in H^{1/2}(\Gamma) $$ Obviamente, incluso si $u$ está en $H^{1/2}(\Gamma)$, esta condición debilita (A) por dos razones:

1. Permitimos que $f$ se elija de un espacio más grande.
2. Probamos con funciones de un espacio más pequeño.

Si asumimos que $f \in L^2(\Gamma)$, la única diferencia entre (A) y (B) es la condición (2).

Ahora mi pregunta fue: ¿Es esta debilitación estricta?

La escritura de P.D. Panagiotopoulos sugiere que no, pero no se da ninguna prueba.

Actualización:

@dmw64 ha proporcionado amablemente un esbozo de prueba para la equivalencia de (A) y (B). ¡Gracias! Completaré los detalles aquí.

La construcción es clara; una función $P_n$ se puede definir mediante $$ P_n(x) = \begin{cases} a_n & \text{si $x \le a_n$}\\ x & \text{si $a_n \le x \le b_n$}\\ b_n & \text{si $b_n \le x$.} \end{cases} $$ Al redefinir $A_n$ si es necesario (a través de un cambio de índice), podemos asumir que $A_n \subset A$ para todo $n \ge 1$.

Ahora se hacen las siguientes afirmaciones (escribiré $v_n$ para $P_n v$):

1. A medida que $n \to \infty$, tenemos $\|v_n - v\|_{L^2} \to 0$;
2. Además, $\|\phi \circ v_n - \phi \circ v\|_{L^1} \to 0$.
3. Para $n$ fijo, podemos encontrar una secuencia $(w_k)$ con $w_k \in H^{1/2}$ tal que $\| w_k - v_n \|_{L^2} \to 0$ y $\|\phi \circ w_k - \phi \circ v_n \| \to 0$ a medida que $k \to \infty$.

Antes de continuar con los detalles, aquí hay algunas notas:

• Podemos asumir $\phi \ge 0$ sin pérdida de generalidad: Cualquier función convexa y propia tiene al menos un minorante afín $m$. Si restamos este minorante, el resultado $\phi - m$ sigue siendo convexo, y también no negativo (El operador adicional $v \mapsto m \circ v$ que ahora debemos tratar es claramente continuo de $L^2$ a $L^2$).
• Tenemos que $\phi([y,z]) \le \max(\phi(y),\phi(z))$ para cualquier $y$ y $z$ por convexidad de $\phi$.

Ahora los detalles:

1. Para casi todo $x$, el término $|v_n(x) - v(x)|^2$ es monótonamente no creciente en $n$ y converge a 0. Por el teorema de la convergencia monótona, así que tenemos $\|v_n -v\|_{L_2} \to 0$ a medida que $n \to \infty$.
2. Por construcción, tenemos que $v_n(x) \in \operatorname{co}(A_1 \cup \{v(x)\})$ para cualquier $n \ge 1$. Esto implica que $\phi(v_n(x)) \in \phi(\operatorname{co}(A_1 \cup v(x)) \le \max\{\phi(a_1),\phi(b_1),\phi(v(x))\}$. En consecuencia, tenemos una cota integrable en $\phi \circ v_n$. Dado que obviamente tenemos convergencia puntual de $\phi \circ v_n$ a $\phi \circ v$, ahora entra en juego el teorema de la convergencia de Lebesgue.
3. Observa que $\phi \circ P_n$ es una función continua y acotada. Si definimos $j_n = \int \phi \circ P_n \circ (\cdot)$, entonces $j_n \colon L^2 \to L^1$ es continua por el teorema de Krasnosel'skii. Ahora podemos encontrar $z_k \in H^{1/2}$ con $\|z_k - v_n\|_{L^2} \to 0$ a medida que $k \to 0$; sus truncamientos $w_k = P_n z_k$ hacen exactamente lo que queremos: Por un lado, todavía se encuentran en $H^{1/2}$ (ya que $P_n$ es Lipschitz); por otro lado, claramente tenemos $$ w_k = P_n \circ z_k \to P_n \circ v_n = v_n \quad \text{en $L^2$ (a medida que $k \to \infty$)} $$ (una vez más, como $P_n$ es Lipschitz) y también $$j(w_k) = j_n(w_k) \to j_n(v_n) = j(v_n)\text. $$ por la continuidad de $j_n$.

Answer 1

Creo que si $f\in L^2$ y $u\in H^{1/2}$, entonces (B) realmente implica (A). (Nótese que la formulación de (B) en esta forma requiere $u\in H^{1/2}$). (Omito el $\Gamma$ por brevedad... Perdón, es muy tarde y estoy demasiado perezoso ;-)...)

Así que basta con mostrar que para cada $v\in L^2$ con $j(v)<\infty$ existe una secuencia $w_n\in H^{1/2}$ tal que $w_n\rightarrow v$ en $L^2$ y $j(w_n)\rightarrow j(v)$. Luego podemos pasar al límite usando $w_n$ y concluir (A).

Ahora, aquí hay otro esquema. Sea $A:={\rm dom\>}\phi$. Entonces $A$ es un intervalo en $\mathbb{R}$. Si $A$ consiste solo en un punto, entonces $u=v$ son constantes y, en particular, $v\in H^{1/2}$. Por lo tanto, asumamos que $A$ no es un singleton. Elijamos una secuencia $A_n=[a_n,b_n]$ de subintervalos acotados y cerrados de $A$ de la siguiente manera: Si $A$ está "a la izquierda cerrado" ($A$ es de la forma $A=[a,b)$ o $A=[a,b]$), entonces tome $a_n=a$, elija $a_n=a+\frac 1 n$ de lo contrario y si $a=\infty$ y $a_n=-n$ si $a=\infty$. De manera similar, procedamos con $b_n$. Entonces $A_n$ es un subintervalo de $A$ si $n$ es suficientemente grande y $\phi$ es acotada y continua en $A_n$. Ahora, $\phi\circ P_n v$ debería converger a $\phi\circ v$ en $L^1$ y por lo tanto $j(P_n v)$ a $j(v)$. Aquí, $P_n$ es la proyección de $\mathbb{R}$ en $A_n$. Además, $P_n v$ converge a $v$ en $L^2$ y puntualmente casi en todas partes (solo $v$ toma valores en $A$ casi en todas partes). Pero podemos encontrar una función $w_n\in H^{1/2}$ (o incluso más regular) que toma valores solo en $A_n$ casi en todas partes tal que $w_n$ está cerca de $P_n v$ en $L^2$ y $\phi\circ w_n$ cerca de $\phi\circ P_n v$ en $L^1$ (ya que $\phi$ es acotada y continua en $A_n$). Ahora, podemos pasar al límite.