Progresiones aritméticas de longitud N

Question

Decimos que un conjunto de $A$ contiene una progresión aritmética de longitud $N$ si contiene un subconjunto de la forma $\{a, a + b, \ldots, a + (N − 1)b\}$ donde $b \neq 0$. Muestran que si $A \subset [0, 1]$ $\lambda(A) > 0$, entonces el $A$ contiene una progresión aritmética de longitud $N$ cada $N$. Aquí, $\lambda$ denota la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

De alguna manera me gustaría usar puntos de densidad, pero no estoy muy seguro de cómo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Deje $K \subset A \subset V$ $K$ compacto, $V$ abierto, y $\lambda(K) > \frac{1}{1+\delta} \lambda(V)$ para algunos pequeños $\delta$. Deje $U = (0,\epsilon)$ $\epsilon$ suficientemente pequeño como para que $K+U \subset V$. Esto es posible porque, por compacidad podemos encontrar un número finito de la cubierta de $K$ $V$ por la apertura de bolas y tomar el radio mínimo.

Deje $u\in U$ y supongamos que $\lambda( ( K+u ) \cap K ) < (1 - \delta)\lambda(K)$. Entonces, desde el $K \cup (K+u) \subset V$, $$\lambda(V) > \lambda( K ) + \lambda(K+u) a - \lambda( (K+u) \cap K ) > (1 + \delta )\cdot \lambda(K)$$ pero nos elegí específicamente $K$$V$, de modo que $(1 + \delta)\lambda(K) > \lambda(V)$, por lo que es una contradicción. Por lo tanto,$\lambda( ( K+u ) \cap K ) \geq ( 1 - \delta ) \lambda(K)$.

Por lo tanto, desde el $\delta$ no dependen $u$, obtenemos que $\lambda( K \cap ( K + \frac{m}{N}u ) ) \geq (1-\delta)\lambda(K)$. Por tanto, tenemos

$$\lambda( K \cap ( K + \frac{1}{N}u )\cap \ldots \cap ( K + \frac{N-1}{N}u ) ) \geq ( 1 - N\delta ) \lambda( K ) > 0$$

En particular, ya que podríamos haber escogido $\delta$ tan pequeño como queríamos, esta intersección es no vacía, que es lo que queríamos demostrar.