Teorema de Rolle: ¿por qué necesitamos la premisa $f(a) = f(b)$ ?

Question

Si una función de valor real $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$ entonces existe al menos un $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ de tal manera que $f'(c) = 0$ .

Arriba se puede ver el teorema de Rolle. Contiene tres premisas:

1. $f$ debe ser continuo en el intervalo $[a,b]$
2. $f$ debe ser diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$
3. $f(a) = f(b)$

Entiendo por qué necesitamos las dos primeras premisas, pero no veo el significado de la tercera. ¿Podría decirme por qué necesitamos $f(a) = f(b)$ ?

¡Gracias por su ayuda!

Answer 1

Toma $f(x) = x, a = 0, b = 1$ . Entonces no hay ningún punto en el intervalo de la unidad tal que $f' = 0$ .

La generalización de este teorema es, por supuesto, el teorema del valor medio: habrá un punto $c$ de tal manera que

$$ f'(c) = \frac {f(b) - f(a)}{b-a}. $$

El teorema de Rolle es sólo el caso especial de que $f(a) = f(b)$ y por lo tanto el numerador de la fracción anterior es necesariamente $0$ .

Answer 2

Supongamos que no tenemos $f(a)=f(b)$ . La función $f(x)=x$ es un contra-ejemplo válido en cualquier intervalo.

Answer 3

La prueba del teorema de Rolle dice que (ya que $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ ), debe alcanzar tanto un valor mínimo como un valor máximo allí. Que $m = \min_ {x \in [a,b]} f(x)$ , $M = \max_ {x \in [a,b]} f(x)$ . Si $m = M$ Entonces $f$ es constante, por lo que tiene un derivado cero en todas partes en $(a,b)$ . Ahora, supongamos $m < M$ .

Si $f(a) = f(b)$ entonces podemos concluir que $m \not\in \{f(a), f(b)\}$ o $M \not\in \{f(a), f(b)\}$ así que $f$ tiene un mínimo local o un máximo local en algún momento $c \in (a,b)$ . Jugando con la definición de mínimo (máximo), podemos ver que $f'(c) = 0$ .

Por otro lado, si $f(a) \not = f(b)$ Entonces $f$ podría ser una función estrictamente creciente (o decreciente), así que, digamos, $f(a) = m$ , $f(b) = M$ y $f'(x) > 0$ para todos $x \in (a,b)$ .