Ejemplo de un anillo con $x^3=x$ % todo $x$

Question

Un anillo $R$ es un anillo boleano si $x^2=x$ % todos $x\in R$. Por el teorema de representación de piedra un booleano anillo es isomorfo a un subanillo del anillo del conjunto potencia de un conjunto.

Mi pregunta es ¿qué es un ejemplo de un anillo $R$ $x^3=x$ % todo $x\in R$que no es un anillo booleano? (Obviamente cada anillo boleano satisface esta condición).

Answer 1

Siempre se puede elegir un conjunto de $X$, considere la posibilidad de la libre $\mathbb Z$-álgebra $A=\mathbb Z\langle X\rangle$, y se dividen por el ideal generado por todos los elementos $x^3-x$ $x\in A$ a que un anillo de $B_X$, no?

(Ya que el cociente va a ser conmutativa, también se puede iniciar desde el polinomio anillo...)

Para demostrar que el cociente resultante no es trivial, considerar los muchos mapas de $B_X\to\mathbb Z_3$, que se obtiene a partir de las funciones de $X\to\mathbb Z_3$. De hecho, por cada ejemplo de un anillo de $R$ satisfacer la condición, usted puede escoger un $X$ y un surjective mapa de $B_X\to R$. Por lo que estos ejemplos son universalmente complicado :)

Más tarde: Aviso que $\mathbb Z_6$ es un ejemplo de un anillo de satisfacción de la identidad, por lo $B_X$ no es un producto de copias de $\mathbb Z_3$.

Answer 2

Es un teorema de Jacobson que cualquier anillo cuyos elementos satisfacen $x^n = x$ para un determinado $n$ es conmutativa. Para $n = 3$, si nos limitamos a los ejemplos de la característica $3$, entonces sospecho que todos los ejemplos son dados por el anillo de funciones continuas $T \to \mathbb{F}_3$ por una Piedra espacio de $T$ (creo que se puede más o menos ir a través de la prueba de la Piedra del teorema de representación). No sé si Mariano ejemplo tiene características de las $3$ o no.

Edit: algunos detalles. Si $P$ es un primer ideal de un anillo de $R$ todos cuyos elementos satisfacen $x^n = x$, $R/P$ es una parte integral de dominio con la misma propiedad. Esto implica que $R/P$ es finita integral de dominio, por lo tanto, un campo finito $\mathbb{F}_q$. Por lo tanto, todo el primer ideales de $R$ son máximas (por lo $R$ es cero-dimensional). Por otra parte, desde la $R$ no tiene nilpotents por supuesto, su nilradical es cero, y desde su nilradical coincide con su Jacobson radical, su Jacobson radical es cero. (Por lo que los elementos de $R$ están fielmente representados como funciones en $\text{Spec } R$.)

Los elementos de cualquier residuo de campo $\mathbb{F}_q$ son todas las raíces de $x^q = x$, por lo que tenemos $q - 1 | n - 1$. Si nos restringimos a $n = p$ primer y exigir que $R$ tiene características de las $p$, $\mathbb{F}_p$ es la única posible residuo de campo. De ello se desprende que $R$ incrusta en el anillo de funciones continuas $\text{Spec } R \to \mathbb{F}_p$ donde $\text{Spec } R$ es una Piedra de espacio, y a partir de aquí (después de, por ejemplo, el enfoque utilizado en este blog), creo que podemos demostrar que $R$ es isomorfo a este anillo.

Más generalmente, $\text{Spec } R$ puede ser dividido en subespacios de acuerdo a los residuos de campo y, a continuación, $R$ incrusta en un producto de anillos de la forma anterior para las diferentes posibilidades de $p$ (fuente primaria de energía en lugar de prime). No sé si cada ejemplo es de esta forma.