¿El caso de la regla de L'Hôpital?

Question

Aunque esto pueda parecer muy subjetivo -y, hay que reconocerlo, mi propia aversión a la norma de L'Hôpital no está totalmente desprovista de subjetividad-, busco aquí respuestas argumentadas y basadas en hechos.

Por lo que tengo entendido, a los estudiantes de Estados Unidos, cuando aprenden cálculo y límites, se les proporciona y se les anima a utilizar La regla de L'Hôpital muy pronto. Como resultado, a partir de, por ejemplo, la actividad en Math.SE, el uso de la regla de L'Hôpital acaba siendo omnipresente y un tanto reflejo para muchos estudiantes.

Suponiendo por una vez que la aplicación de L'Hôpital esté bien justificada, y que se comprueben los supuestos, etc., se trata de una técnica válida. Sin embargo, basándome en mi limitada experiencia en investigación esta es una técnica que nunca he visto utilizar en la vida "real"". Con frecuencia veo que la gente se basa en equivalencias asintóticas, aproximaciones de Taylor, comparaciones integrales, etc.; todas ellas herramientas que, según tengo entendido, apenas se enseñan a los estudiantes de secundaria o de grado.

Mi pregunta, por tanto, es: por qué ? ¿Cuál es la razón de promover el uso (casi exclusivo) de la regla de L'Hôpital en la enseñanza secundaria (de nuevo, en los Estados Unidos)?

• ¿Es mi observación errónea, y en realidad también se acentúan otras técnicas? (basándome en los datos de la muestra que tengo, lo dudo)

• ¿Hay alguna ventaja clara en enseñar la regla de L'Hôpital y formar a los alumnos para que la utilicen por defecto, ventaja que se me escapa? (por ejemplo, ya sea educativa o en términos de estudios o aplicaciones posteriores)

Answer 1

Es estupendo que hayas planteado este punto como una pregunta (+1). La cuestión se ha debatido regularmente en los comentarios de muchas preguntas/respuestas etiquetadas como límites, pero ahora hay esperanza de que todos los argumentos de ambos tipos (a favor y en contra) puedan encontrarse en un solo lugar.

Existe una idea errónea muy común de que Los límites se pueden evaluar mediante la introducción de y el uso de la Regla de L'Hospital incluso fomenta esta línea de razonamiento de que los límites se pueden evaluar "diferenciando y tapando" en lugar de sólo "tapando". Esto hace que la evaluación de algunos de los límites complicados sea muy fácil y es quizás la principal razón para promover su uso en EE.UU. Creo que los educadores de EE.UU. quieren enseñar el Cálculo I (o el Cálculo AP) de una manera que es sólo una extensión del álgebra. Por lo tanto, el enfoque en la evaluación de los límites está en las operaciones algebraicas habituales de $+,-,\times,/$ y $=$ en lugar de relaciones de orden. Los alumnos sólo tienen que saber que si el enchufe no funciona, entonces la diferenciación y el enchufe sí. Además, este tipo de enseñanza hace hincapié en la "diferenciación formal", en la que se presentan a los alumnos las reglas de diferenciación (suma, producto, cociente, regla de la cadena, etc.) junto con las fórmulas de diferenciación de las funciones elementales. Este enfoque es especialmente adecuado para aquellos estudiantes que toman el curso de cálculo desde una perspectiva aplicada (estudiantes de "ingeniería") que no van a tratar con la parte de "rigor" del cálculo de todos modos.

El planteamiento anterior es tan contrario al propio espíritu del cálculo que se basa esencialmente en la noción no algebraica de relaciones de orden $<, >$ y la integridad. Es esencial captar la idea de que los límites son esencialmente diferentes del valor de una función y que se utilizan para estudiar el comportamiento de valores de una función en lugar de tratar con un valor de una función .

Los estudiantes formados en este enfoque normalmente se quedan totalmente atascados cuando se encuentran con $\lim_{x \to 0}x\sin(1/x)$ y que muestra el alcance de dicho enfoque. Otro problema común es que los alumnos equiparan la Regla de L'Hospital a "diferenciar y enchufar" y rara vez se centran en verificar las hipótesis bajo las que funciona. Algunos estudiantes ni siquiera se molestan en comprobar si la expresión es una forma indeterminada $0/0$ o no.

Sin embargo, hay un lado positivo de la regla de L'Hospital que quiero destacar. Es más fácil enseñar la Regla de L'Hospital como técnica de evaluación de límites que enseñar la técnica más potente de las series de Taylor. La demostración de la regla de L'Hospital es más fácil en comparación con la prueba del Teorema de Taylor . Además, los alumnos deben conocer la manipulación de las series infinitas (multiplicar, dividir y componer dos series infinitas con facilidad, al menos para algunos términos) para poder utilizar eficazmente la técnica de las series de Taylor.

En mi opinión, hay que enseñar a los estudiantes todas las técnicas, empezando por las reglas de los límites, el Teorema de Squeeze, las fórmulas estándar de los límites (como $(\sin x)/x \to 1$ como $x \to 0$ ), La regla de L'Hospital y la serie de Taylor y preferiblemente en ese orden.

Answer 2

Aquí están mis pensamientos. Tengo una doble titulación en ingeniería y matemáticas, así que tengo la ventaja de ver el cálculo tanto desde el lado "riguroso" como desde el lado "ingenieril", y son dos cosas totalmente diferentes, como probablemente sepas.

El cálculo, tal y como se enseña a los que no son licenciados en matemáticas, hace mucho hincapié en la aplicabilidad. Por ejemplo, un profesor suele dar una descripción muy manual de lo que "es" una integral y, a continuación, dedica mucho tiempo a enseñar a los alumnos a calcular una integral. A menudo, la descripción dada es muy incompleta, pero suficiente para proporcionar una idea algo "intuitiva" de lo que está pasando. Además, muchas veces se descuidan las hipótesis adicionales necesarias para presentar correctamente un teorema (es decir, "continua en un conjunto abierto" se convierte simplemente en "continua"). Esto es suficiente para cosas como la ingeniería y la física de grado, ya que la profundidad del material cubierto en estos campos en el nivel de grado rara vez requerirá una comprensión matemática más profunda. Esto es falso cuando se supera el nivel de licenciatura y los físicos, por ejemplo, empiezan a profundizar en cosas como la relatividad, donde un conocimiento práctico de cosas como la topología/geometría diferencial es muy importante.

El cálculo tal y como se enseña a los estudiantes de matemáticas es diferente, como probablemente todo el mundo sabe. Las cosas se desarrollan con más cuidado, los resultados se presentan de forma completa, etc.

Ahora, la pregunta de "¿por qué?" en lo que respecta a la regla de L'Hopital. La regla de L'Hopital es un resultado muy aplicable, en mis clases de ingeniería encuentra una amplia utilidad y me imagino que lo mismo ocurre con la física y quizás con la informática. Además, incluso dentro del cálculo no matemático el resultado es muy aplicable, por ejemplo, a menudo se enseña a los estudiantes la regla de L'Hopital y luego se aprende a utilizar la prueba de la razón, una prueba de convergencia que implica una razón límite que a menudo se puede evaluar utilizando la regla de L'Hopital. Aunque esta relación probablemente puede ser evaluada por otras técnicas, a menudo es más fácil para los que no son expertos en matemáticas utilizar la regla de L'Hopital como una especie de "enchufe y enchufe" para obtener el resultado rápidamente. Esto no garantiza una comprensión más profunda, pero encaja con la narrativa que mencioné anteriormente: el cálculo de los no matemáticos, de grado, realmente no se enseña de una manera que pone énfasis en la comprensión, sino que pone énfasis en la aplicabilidad. Por eso creo que la introducción a la regla aparece tan pronto y a menudo de forma tan incompleta.

Answer 3

No estoy de acuerdo con su premisa de que la regla de l'Hopital no se utiliza casi nunca. En realidad, es importante para construir el marco básico del cálculo. Por ejemplo, si se desea establecer los límites típicos de las funciones trascendentales, la regla es útil. Estoy de acuerdo contigo en que las aplicaciones más avanzadas requieren estimaciones más avanzadas.