Una desigualdad de lados de un triángulo

Question

Sea $ a, b, c $ lados de un triángulo y $ ab+bc+ca=1 $. Mostrar $$(a+1)(b+1)(c+1)<4 $ $

Probé con sustitución de Ravi y tiene un límite estrecho, pero no saben cómo hacer todo el camino a $4 $. Estoy buscando una solución sin cálculo (no hay multiplicadores de Lagrange).

¿Sabes cómo hacerlo?

Answer 1

WOLOG asumir que $a\geq b\geq c>0$. Las restricciones del problema se impone $c=\frac{1-ab}{a+b}$, $b+c>a$. Equivalentemente, tenemos $\frac{1-ab}{a+b}+b > a\geq b$$b\geq \frac{1-ab}{a+b}$. Estas desigualdades de rendimiento $$0\leq a^2-b^2<1-ab<1\quad (1)$$ and $$ab\geq \frac{1-b^2}{2}.\quad(2)$$

Tenga en cuenta que $(1)$ implica $0<b\leq a<1$. Ahora, supongamos que el $a+b\leq 1$. Luego de $(2)$ tenemos $2b\geq 2b(a+b)\geq 1+b^2$, lo cual no es posible ya que $b<1$. Por lo tanto, debemos tener $$a+b>1.\quad (3)$$ Invoking $(3)$ tenemos $$(1-a)(1-b)>0\\ \implica ab>a+b-1\\ =\left\vert a+b-1\right\vert\\ \implica a^2b^2>(a+b-1)^2\\ \ffi 1-a^2b^2<2(a+b)-(a+b)^2\\ \iff a+b+(1+ab)\frac{1-ab}{a+b}<2\\ \iff a+b+c +abc<2\\ \implica (1+) (1+b)(1+c)<4.$$

Answer 2

La solución de $ab+bc+ca=1$ $c$ da $$ c=\frac{1-ab}{a+b}\etiqueta{1} $$ El triángulo de la desigualdad dice que para no degenerada triángulos $$ |a-b|\lt c\lt(a+b)\etiqueta{2} $$ Multiplicar $(2)$ $a+b$ para obtener $$ |a^2-b^2|\lt1-ab\lt(a+b)^2\etiqueta{3} $$ Por $(3)$,$(a+b)^2-1+ab\gt0$; por lo tanto, $$ \begin{align} (a+b+1)(a+b+ab-1) &=\left[(a+b)^2-1+ab\right]+(a+b)ab\\ &\gt(a+b)ab\\[6pt] &\gt0\tag{4} \end{align} $$ Además, $\color{#C00000}{(3)}$ implica $$ un\ge1\implies1-b^2\le\color{#C00000}{a^2-b^2\lt1-ab}\implica b\gt a\etiqueta{5a} $$ Del mismo modo, $$ b\ge1\implies1-a^2\le\color{#C00000}{b^2-a^2\lt1-ab}\implica un\gt b\etiqueta{5b} $$ Las desigualdades $(5)$ implica que si bien $a\ge1$ o $b\ge1$,$a\gt1$$b\gt1$. En consecuencia, tenemos tanto $a\gt b$$b\gt a$. Por lo tanto, debemos tener $$ un\lt1\qquad\text{y}\qquad b\lt1\etiqueta{6} $$ El uso de $(1)$, $(4)$, y $(6)$, tenemos $$ \begin{align} abc+a+b+c-2 &=(1+ab)\frac{1-ab}{a+b}+(a+b)-2\\ &=\frac{1-a^2b^2+(a+b)^2-2(a+b)}{a+b}\\ &=\frac{(a+b-1)^2-a^2b^2}{a+b}\\ &=\frac{(a+b+ab-1)(a+b-ab-1)}{a+b}\\ &=-\frac{(a+b+ab-1)(a-1)(b-1)}{a+b}\\ &\lt0\tag{7} \end{align} $$ Por lo tanto, desde $ab+bc+ca+1=2$, $(7)$ dice $$ \begin{align} (a+1)(b+1)(c+1) &=(abc+a+b+c)+(ab+bc+ca+1)\\[4pt] &\lt2+2\\[4pt] &=4\tag{8} \end{align} $$

Answer 3

$(1+a)(1+b)(1+c) = 2 + a+b+c + abc < 2 + 2(a+b) + ab(a+b) = 2 + (a+b)(2 + ab)$ (porque $c < a+b)$

$ab + bc + ac = ab + (a+b)c < ab + (a+b)^2$ por la misma razón, que es $ab > 1 - (a+b)^2$ y $2 + ab > 3 - (a+b)^2$

Combinar, tenemos $(1+a)(1+b)(1+c) < 2 + 3(a+b) - (a+b)^3$

Este último alcanza el máximo 4 $a+b = 1$ (no estamos interesados en negativo $a+b$), QED