Qué es el círculo más grande que se ajuste en $\sin(x)?$

Question

Imagino soltando un círculo en el comedero de $\sin(x)$. Habría que llegar a la parte inferior o conseguir encajada entre dos puntos de la curva? Depende del tamaño del círculo.

Así que, ¿cuál es el radio del círculo más grande que va a llegar a la parte inferior de la curva de $y=\sin(x)$?

Este problema se inspiró en este similar que encontré en un libro de texto de cálculo: Encontrar el radio del círculo más grande que va a llegar a la parte inferior de la curva de $y=x^2$ sin atorarse. Yo estaba intrigado por la respuesta de $r=1/2$.

He tratado de atacar este problema desde varios ángulos, pero todos han fallado. Tal vez numérico exacto de la solución no se obtiene, no sé. Toda la ayuda será apreciada. Gracias!

Answer 1

El círculo más grande que se ajusta a la (suficientemente suave) de la curva en el punto dado es llamado el osculating círculo, su radio es la inversa de la curvatura. En caso de $\sin x$, la curvatura es

$$\frac{|\sin x|}{(1+\cos^2 x)^{\frac{3}{2}}}$$

que pasa a ser $1$ exactamente en los puntos, donde $|\sin x| = 1$. Por lo tanto, la respuesta es a la inversa, es decir,$1$.

Argumentar que es realmente encaja, considere las siguientes curvas: \begin{align} t &\mapsto \Bigg(t,\ \sin\Big(t+\frac{3}{2}\pi\Big)\Bigg) = (t,-\cos t), \tag{%#%#%}\\ t &\mapsto \Bigg(\sin t,\ \sin\Big(t+\frac{3}{2}\pi\Big)\Bigg) = (\sin t,-\cos t). \tag{%#%#%} \end{align}

La primera es la condición sine, y el segundo es el osculating círculo en $\spadesuit$. Sin embargo, $\clubsuit$ $t = 0$ se estira más de $|t| \geq |\sin t|$, de ahí el círculo es siempre (débilmente) por encima de la sinusoidal.

Espero que esto ayude a $(\spadesuit)$

Answer 2

La primera derivada de la $y = - \sqrt {r^2 - x^2}= - (r^2 - x^2)^{1/2}$ $y' = dy/dx = x \,(r^2 - x^2)^{-1/2}.$ La segunda derivada es $$y'' = r^2 \, (r^2 - x^2)^{-3/2}= \frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}}.$$ At $x=0$ this is $1/r.$

La segunda derivada de $y = \sin x$ $x = -\pi/2$ $1.$

Muy bien, así que la respuesta de seno es $r=1.$ $y=x^2$ $1/2$ porque la segunda derivada de $x^2$ es de 2.

Usted debe leer sobre la curvatura de las curvas planas; http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature#Curvature_of_plane_curves

Algunos aspectos de este no son obvias...Si voy a empezar con la punta final de una elipse, todo esto funciona correctamente, la coincidencia de curvatura mediante la correspondencia de la segunda derivada de la gráfica. Si yo trato de que en la parte menos profunda de la parte de una elipse, el correspondiente círculo es realmente fuera de la elipse, o puede que lo cruzan en otros puntos. Has seleccionado problemas sin complicaciones de ese tipo. En particular, el valor absoluto de la "curvatura" es máxima en los puntos en cuestión, por tanto la onda sinusoidal y de la parábola. Es decir, a nivel local, la información suficiente. Junto con algo de cuidado con las fotos en grande, que es todo lo que se necesita.

Answer 3

Buena pregunta.

Si estamos cayendo en el círculo, de modo que su centro está justo encima de $\frac{3\pi}{2}$, entonces las coordenadas del centro de la bajó círculo se $(x_0,y_0) = (3\pi/2,r-1)$ donde $r$ es el radio del círculo. Ahora, la distancia de este punto a cualquier punto de $(x,y)$ en la curva de $\sin$ es $$ \sqrt{(x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2} = \sqrt{ (3\pi/2-x)^2 + (r-1)^2 - 2(r-1)\sin x + \sin^2 x}, $$ y esto puede ser de no menos de $r$. El resultado de la desigualdad es $$ 2r(1 + \sin x) \leq (3\pi/2-x)^2 + 1 + 2\sin x + \sin^2 x $$ lo que conduce a $ r \leq ((3\pi/2-x)^2 + (1+\sin x)^2)/2(1+\sin x)$. A continuación, la respuesta debe ser \begin{align} r &= \inf \{ ((3\pi/2-x)^2 + (1+\sin x)^2)/2(1+\sin x) \mid x \in (0,\pi) \} \\ &= \frac{1}{2}\inf \{ (3\pi/2-x)^2/(1+\sin x) + (1+\sin x) \mid x \in (0,\pi) \}. \end{align} Vamos a la función en el infimum ser $f$. La diferenciación de los rendimientos $$ \frac{-2(3\pi/2 - x)(1+\sin x) - \cos x(3\pi/2-x)^2}{(1+\sin x)^2} + \cos x $$ y si a solucionar por donde esta se $0$ consigue $$ \cos x((1 + \sin x)^2 - (3\pi/2-x)^2) = 2(3\pi/2-x)(1+\sin x). $$ Una solución es en $x = 3\pi/2$, utilizando la regla de L'hospital, $$ \lim_{x \3\pi/2} f(x) = \frac{1}{2} \lim_{x \3\pi/2} \frac{-2(3\pi/2-x)}{\cos x} = \frac{1}{2} \lim_{x \3\pi/2} \frac{2}{-\sin x} = 1. $$ Esto es $r$ (que solo queda demostrar que el punto crítico es el mínimo para $f$, y la derivada primera prueba verifica esto).