$p$-Grupo Unión de subgrupos

Question

Es bien sabido que un grupo no puede ser la unión de dos adecuada de los subgrupos. Para finitos $p$-grupos, podemos decir más:

Un finito $p$-grupo no puede ser la unión de $p$ apropiado subgrupos.

Por otra parte,

Teorema. Si $G$ es un no-cíclico finito $p$-grupo, que es la unión de $p+1$ apropiado subgrupos $A_1,A_2,\dots, A_{p+1}$, $A_i$'s son de máxima y de $\cap_{i=1}^{p+1} {A_i}$ índice de $p^2$$G$.

(Ver Berkovich, Grupos de Primer poder de la orden, vol. 3, Capítulo sobre "Grupos cubiertos por unos adecuada de los subgrupos".)

El problema, quiero publicar es entender su prueba; el principal obstáculo en mi entendimiento es un conjunto teórico de la declaración; puede ser simple, pero yo no podía entender. La prueba es como sigue:

Prueba: Vamos A $|G|=p^{n}$. A continuación,$G=\cup_{i=1}^{p+1} A_i= A_{p+1}\cup (A_1 - A_{p+1})\cup (A_2-A_{p+1})\cup \cdots \cup (A_p-A_{p+1})$. La comparación de tamaños,

$|G|\leq p^{n-1} + [(p^{n-1}-p^{n-2})+ (p^{n-1}-p^{n-2})+\cdots (p^{n-1}-p^{n-2})]_{p-\text{times}}=p^n=|G|$,

de ahí el por encima de la unión (antes de comparar tamaños) es distinto, y $A_i$'s debe ser máxima.

(A continuación, el autor del libro dice:) Se deduce que $A_i\cap A_{p+1}=A_j\cap A_{p+1}$$i,j<p+1$.

Pregunta: ¿por Qué $ A_i\cap A_{p+1}=A_j\cap A_{p+1}$$i,j<p+1$?

Answer 1

El argumento es un poco complicado. De la Unión discontinuo, obtenemos lo siguiente:

$$A_i\cap A_j\cap A_{p+1}^c=\varnothing$$

para todos los $i\ne j$, $1\le i,j< p+1$. Sin embargo, no hay nada especial acerca de $A_{p+1}$, así que nos podemos así permitimos utilizar el % de relación más general $$A_i\cap A_j\cap A_k^c=\varnothing$$ % todo distinto $i,j$y $k$. Aplicando la relación anterior dos veces nos da lo siguiente:

$$\begin{align}A_i\cap A_{p+1}&=(A_i\cap A_{p+1}\cap A_j)\cup(A_i\cap A_{p+1}\cap A_j^c)\\&=A_i\cap A_{p+1}\cap A_j\\&=(A_i\cap A_{p+1}\cap A_j)\cup(A_i^c\cap A_{p+1}\cap A_j)\\&=A_j\cap A_{p+1}\end{align}$$

para todos los $1\le i,j< p+1$

Answer 2

$A_i\cap A_j\cap A_{p+1}^c=\phi$, es decir, $A_i\cap A_j\subseteq A_{p+1}$ % todos $i,j<p+1$. $i,j$ De fijación y trabajando todos estos %#% de #%, hemos $A_{p+1}$. q.e.d.