Desafiando a $\lim_{x \rightarrow 10} \frac{1}{\lfloor x \rfloor} = \frac{1}{10}$ para $\epsilon=\frac{1}{2}$ .

Question

Considere la afirmación (incorrecta) de que $$\lim_{x \rightarrow 10} \frac{1}{\lfloor x \rfloor} = \frac{1}{10}.$$

¿Cómo puedo encontrar el mayor $\delta$ de manera que pueda desafiar $\epsilon = 1/2$ ?

Está claro que tengo que utilizar el $\epsilon$ - $\delta$ definición de límite, pero mi problema es que no sé cómo encontrar el más grande delta.

Esto es lo que sé:

• $|f(x) - (1/10)| <1/2$
• $0<|x-10|< \delta$

Answer 1

Pensando en voz alta, por lo que su límite $L=\dfrac1{10}$ y su función $f(x)=\dfrac1{\lfloor x\rfloor}$ .

$\forall\varepsilon\exists\delta$ etc. Así, para $\varepsilon=\dfrac12$ , $\exists\delta$ de manera que si $|x-10|<\delta$ entonces $\bigl|\dfrac1{\lfloor x\rfloor}-\dfrac1{10}\bigr|<\dfrac12$ .

Es decir $\dfrac{-1}2 + \dfrac1{10}< \dfrac1{\lfloor x\rfloor} < \dfrac12 + \dfrac1{10}$ o, por el contrario $\dfrac{-4}5< \dfrac1{\lfloor x\rfloor} < \dfrac35$ .

Si $x>0$ (o más bien cuando $x\ge1$ ) entonces necesitamos $\lfloor x\rfloor>\dfrac53$ Así que $\lfloor x\rfloor\ge2$ .
Cuando $x<0$ necesitamos $\dfrac45> \dfrac{-1}{\lfloor x\rfloor}$ Así que $\dfrac54< -\lfloor x\rfloor$ A su vez $2\le -\lfloor x\rfloor$ Por lo tanto $-2\ge \lfloor x\rfloor$ A su vez $x<-1$ .

¿Cómo nos aseguramos de que $\lfloor x\rfloor\ge2$ o $x<-1$ utilizando la condición única $|x-10|<\delta$ ?
Este último se lee como $-\delta+10<x<\delta+10$ .
Me parece que podríamos tomar $\delta$ tan grande como $8$ y la condición $-\delta+10<x<\delta+10$ se convierte en $2<x<18$ , lo que implica $\lfloor x\rfloor\ge2$ , lo que implica $\bigl|\dfrac1{\lfloor x\rfloor}-\dfrac1{10}\bigr|<\dfrac12$ .
Pero $\delta$ no puede ser mayor que $8$ como entonces $x<2$ será permitido, pero eso implicaría $\lfloor x\rfloor=1$ (al menos para algunos $x$ ) pero luego $\bigl|\dfrac1{\lfloor x\rfloor}-\dfrac1{10}\bigr| = 1- \dfrac1{10} = \dfrac9{10}\ge\dfrac12$ , lo cual es un problema, no está permitido.

Por lo tanto, sugeriría $\delta=8$ , publicar esto, y seguir leyendo para ver si tengo errores.

Editar. En una segunda lectura creo que $\delta =8$ está naturalmente relacionado con su pregunta, pero no entiendo su pregunta. ¿Qué significaría para $\delta$ para desafiar $\varepsilon$ ? Si interpreto esto de la única manera que soy capaz, parece que mi $\delta = 8$ sería el más pequeño que no desafía la $\varepsilon=\dfrac12$ y entonces no hay mayor $\delta$ para desafiar la $\varepsilon$ para todos $\delta>8$ trabajo.

Editar $^2$ . Tal vez quería decir que $\delta = 8$ sería el El más pequeño más grande que no desafía la $\varepsilon=\dfrac12$ .

Answer 2

Dado que tu pregunta es moderadamente confusa por el momento, he pensado en darte algunas ideas que pueden ser útiles para seguir adelante.

¿Cómo puedo encontrar el mayor $\delta$ de tal manera que pueda desafiar $\epsilon = 1/2$ ?

Creo que este es el crux del problema. ¿Qué quiere decir exactamente con "desafío"? Esta es la parte que actualmente no está clara en su pregunta. En primer lugar, ¿qué significa $|x-a|$ ¿Representa? Representa la distancia de $x$ a $a$ . Por lo tanto, el significado de $0<|x-a|<\delta$ debería estar más claro ahora; $\delta$ representa básicamente "cuántas unidades, en cualquier dirección", $x$ se permite desviarse de $a$ ." En su caso, $a=1/10$ . Ahora considere lo siguiente.

Debemos enfrentarnos a $$ f(x)=\left|\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{10}\right|<\frac{1}{2}.\tag{1} $$ Por lo que $x$ -valores es $(1)$ ¿es cierto? Un gráfico puede ayudar:

Arriba, la línea recta es el valor constante $1/2$ para todos $x$ -valores, y las líneas dispersas forman un gráfico para su función $f(x)$ en $(1)$ . ¿Puedes decir a partir del gráfico (o algebraicamente) para qué $x$ -valores $(1)$ ¿tiene?

Podemos ver (o razonar) que $(1)$ es cierto cuando $x\in(-\infty,-2)\cup[2,\infty)$ pero falla si $x\in[-2,2)$ . Teniendo esto en cuenta, ¿cuál es el máximo $\delta$ -valor para el que $(1)$ no es verdadero o "desafiado"? El valor máximo para $\delta$ se alcanzará en el punto más alejado de $x=10$ . Esto ocurre en $x=-2$ a una distancia de $12$ unidades de $x=10$ .

Por lo tanto, el mayor $\delta$ para lo cual puede impugnar $\epsilon=1/2$ es $\delta=12$ . Esta es la única forma razonable de responder a esta pregunta, en mi opinión.

Answer 3

No se puede refutar la existencia de un límite basado en el margen de error de $ε = \frac{1}{2}$ ya que la función es efectivamente cercana a $\frac{1}{10}$ dentro de ese margen de error en un intervalo convenientemente pequeño alrededor de $10$ . Si quieres refutar la existencia del límite, necesitas un margen de error menor. Sólo hay que calcular explícitamente lo que $\frac{1}{\lfloor x \rfloor}$ es cuando $x \in (9,10)$ y cuando $x \in (10,11)$ y sabrá qué margen de error necesita.