En el encierro de $L^2$ bajo circunvolución

Question

Es una consecuencia directa del teorema de Fubini que si $f,g \in L^1(\mathbb{R})$, entonces la convolución $f *g$ está bien definido en casi todas partes y $f*g \in L^1(\mathbb{R})$. Por lo tanto, $L^1(\mathbb{R})$ es cerrado bajo la convolución, y es un álgebra de Banach sin unidad, ya tenemos la desigualdad

$$\|f*g\|_{1} \leq \|f\|_1 \|g\|_1 \qquad (f,g \in L^1(\mathbb{R})).$$ Ahora, se sigue de Hölder la desigualdad que si $f,g \in L^2(\mathbb{R})$, $f*g$ está acotada.

Mi pregunta es la siguiente: ¿$f*g$ pertenece necesariamente a $L^2(\mathbb{R})$? En otras palabras, es $L^2(\mathbb{R})$ cerrado bajo la convolución?

Ya que una rápida búsqueda en google parece ser el resultado de una respuesta negativa, yo también la siguiente pregunta :

¿Puede dar un ejemplo claro de dos funciones de $f, g \in L^2(\mathbb{R})$ tal que $f*g \notin L^2(\mathbb{R})$?

Gracias, Malik

Answer 1

Puesto que la transformada de Fourier del producto de dos funciones es igual a la convolución de sus transformadas de Fourier y la transformada de Fourier es una isometría en $L^2$, todo lo que necesitamos encontrar es una $L^2$ función que cuando se eleva al cuadrado no es un $L^2$ función. Asumir la función $$ f(x)=e^{-x^2}|x|^{-1/3} $$ $f\in L^2(\mathbb{R})$, sin embargo,$f^2\not\in L^2(\mathbb{R})$. Por lo tanto, $\hat{f}\in L^2(\mathbb{R})$, sin embargo,$\hat{f}*\hat{f}\not\in L^2(\mathbb{R})$.

Exposición:

La razón por la que es difícil llegar con un ejemplo claro sin el uso de la transformada de Fourier, es que el $L^2$ funciones implicadas en la convolución no se descomponen en $\infty$ la rapidez suficiente como para ser integrable; es decir, la convolución requiere la cancelación a evaluar. El $\hat{f}$ no $L^1$ (si lo fuera, entonces $f$ sería limitado), así que tratando de calcular la convolución con el mismo podría ser extremadamente difícil.