¿La contracción adecuada en el espacio de Hilbert conduce necesariamente a la convergencia de la norma a cero?

Question

Me preguntaron esto en la clase de análisis funcional:

Dejemos que $ \mathbb{H} $ sea un espacio de Hilbert y nos den un operador T que satisfaga

$ || Th || < ||h|| $ para todos $ h \in H $ . Se nos pregunta si lo siguiente es necesariamente cierto: para todo $ h \in \mathbb{H} $ tiene la convergencia a cero $ T^nh \to 0 $ en la norma del espacio de Hilbert? ¿Y en la otra dirección?

Intuitivamente me parece que es falso ya que el supremo de la norma del operador podría ser uno y la desigualdad dada aquí parece más débil que la conclusión dada, pero no tengo ningún contraejemplo. Para la otra dirección no tengo ni idea. ¿Podría alguien ser tan amable de indicarme el camino? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\{a_n\}$ sea una secuencia de números reales positivos que aumenta hasta $1$ con la propiedad de que la secuencia de productos $$ a_1,\ a_1a_2,\ a_1a_2a_3,\ a_1a_2a_3a_4,\ \ldots$$ converge a un valor positivo. No es difícil escribir un ejemplo concreto.

Dejemos que $\cal H = \ell^2(\mathbf R)$ y definir $T : \cal H \to \cal H$ por $$T(x_1,x_2,x_3,\ldots) = (0, a_1x_1,a_2x_2,a_3x_3,\ldots).$$ Claramente $T$ es lineal y acotada, y $\|Th\| < \|h\|$ para todo (no cero) $h$ . Dejemos que $h = (1,0,0,0,0,\ldots)$ .

¿Qué es? $\|T^nh\|$ ¿Igual?