Mostrar que no existen 3$\times$ 3 matrices$A$ sobre$\mathbb{Q}$ tales que$A^8 = I $ y$A^4 \neq I.$.

Question

Muestran que no existen 3 $\times$ 3 matrices de $A$ $\mathbb{Q}$ tal que $A^8 = I $$A^4 \neq I.$.

Soy consciente de que el polinomio mínimo de a $A$ divide $(x^8−1)=(x^4−1)(x^4+1)$.Si el polinomio mínimo divide $x^4+1$ entonces tenemos raíces fuera de $\mathbb{Q}$.Las raíces del polinomio mínimo también son raíces del polinomio Característico de A , por lo tanto polinomio Característico de a $A$ tiene raíces fuera de $\mathbb{Q}$. Yo soy incapaz de progresar a partir de este punto.

Realmente agradecería un poco de ayuda.

Gracias !

Answer 1

Vamos a probar esto:

Deje $A\in M_{3\times 3}(\mathbb{Q})$, de modo que $A^8-1=0$. A continuación,$A^4 -1=0$.

De hecho, vamos a $P(x)$ el polinomio característico de $A$. $P$ es un polinomio monic de grado $3$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$. Sabemos (Cayley-Hamilton)que $P(A)=0$.

Denotar por $Q(x) = x^8-1$. Por hipótesis tenemos $Q(A)=0$.

Deje $D = GCD(P,Q)$. Por el algoritmo de Euclides sabemos que $D$ es una combinación de $P$$Q$. Por lo tanto

$$D(A)=0$$

Ahora $Q$ se descompone en $\mathbb{Q}[x]$ en irreducibles de factores como

$$x^8-1= (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$$

Ahora $D$ es un factor de $P$$\deg D \le 3$. Pero $D$ es también un factor de $x^8-1$, siendo de grado $\le 3$ debe ser relativamente primer a $x^4+1$. De ello se desprende que $D$ divide $(x-1)(x+1)(x^2+1)= x^4-1$. Desde $D(A)=0$ llegamos a la conclusión de $A^4-1=0$.

Answer 2

Sugerencia: demuestre que$x^4+1$ es irreducible en$\Bbb{Q}[x]$. ¿Qué factores de$x^4+1$ pueden ocurrir así como factores del polinomio mínimo de las matrices$3\times3$ con entradas de$\Bbb{Q}$?