Invertir

Question

Invertir$\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d) \lambda(d)=2^{\omega(n)}$ en$\displaystyle\sum_{d|n} \lambda(n/d) 2^{\omega(d)}=1$, donde$n \geq1$, utilizando la fórmula de inversión Mobius.

Soy capaz de resolver este último sin inversión, y en el problema también no es necesario utilizar la inversión, pero estoy fascinado de saber cómo hacerlo, porque$2^{\omega(n)}$ viene al lado LHS de RHS y se convierte en$2^{\omega(d)}$, también$\lambda(d)$ se convierte en$\lambda(n/d)$ Por favor ayuda. y si no es posible entonces comentario, quitaré este problema de MSE.

Answer 1

(Se debe especificar que el $\lambda$ se refiere a la Liouville función lambda y no el Carmichael función lambda, que también es bastante común.)

Una manera de hacer esto es utilizar el total multiplicativity de $\lambda$ (y la cómoda hecho de que $\lambda = 1/\lambda$) para escribir $\lambda(n/d)$ según el producto y el cociente de $\lambda(n)$$\lambda(d)$.

Podemos reescribir la primera suma como $$\lambda(n) \sum_{d\mid n} \mu(d) \lambda(n/d),$$ o en la notación funcional $\lambda \cdot (\mu \star \lambda)$. Aquí estoy usando $\cdot$ a media pointwise la multiplicación y la $\star$ a la media de Dirichlet de convolución.

Dado que este es igual a $2^{\omega(n)}$ por la primera igualdad, se multiplica/divide ambos lados por $\lambda$ conseguir $\mu \star \lambda = \lambda \cdot 2^{\omega(n)}$, y de inversión de Möbius, a continuación, da $\lambda = 1 \star (\lambda \cdot 2^{\omega(n)})$. Escrito en forma de suma da $$\sum_{d\mid n} \lambda(d) 2^{\omega(d)} = \lambda(n),$$ y división/multiplicación a través de por $\lambda(n)$ los rendimientos de la deseada igualdad.