¿Existe un triángulo lateral de área $1$ ?

Question

Un triángulo con racionalidad lateral significa un triángulo con cada lado racional.

Sabemos, por el teorema del coseno y el cálculo del área del triángulo, podemos obtener que cada ángulo del triángulo es de racionalidad $ \sin $ y $ \cos $ . Entonces considera la altura de la hormiga de un lado, tenemos $$S=h(h \cot \alpha +h \cot \beta )/2$$ Entonces basta con mostrar que $$t- \frac {1}{t}+T- \frac {1}{T} \notin \mathbb {Q}^2 \quad t,T \in \mathbb {Q}$$ Pero estoy atascado en ello.

Answer 1

Un triángulo con longitudes laterales (3/2, 5/3, 17/6) funciona. La coordenada superior está en {45/34, 12/17}. Aquí hay una foto de él con un cuadrado de unidad. Cualquier triángulo heroniano con un área cuadrada puede ser usado, aquí hay dos más: (3, 25, 26)/6, (17, 113, 120)/30. Para más, ver el Lista de triángulos heráldicos de Sascha Kurz .

Unos cuantos más: (28,1345,1371)/84, (41,357,370)/84, (104,657,697)/180, (17,4904,4905)/204, (289,2313,2600)/204, (73,1274,1299)/210, (255,353,392)/210, (40,8749,8787)/234, (305,424,567)/252, (337,441,680)/252, (130, 2057,2169)/264, (520,641,1089)/330, (1009,3088,4095)/336, (113,3137,3150)/420, (245,1443,1448)/420, (800,1241,2009)/420, (56,9273,9305)/462, (539,890,1233)/462, (585,746,847)/462, (696,865,1183)/546, (2809,4395,7202)/546, (314,2555,2619)/630, (833,1017,1066)/630, (4201,4375,8574)/630, (1000,2057,2993)/660, (377,4570,4879)/714, (544,2329,2535)/780, (1409,6596,7995)/780, (801,1825,2176)/840, (1131,1285,1904)/840, (401,4097,4290)/858, (841,1898,2307)/870, (1617,2425,3944)/924, (1445,1476,2281)/1020, (939,2548,2785)/1092, (1241,6884,8075)/1140

Answer 2

Bueno, la propia fórmula del triángulo de la Geronova (Heroniana).

$$S_g= \sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}$$

Si: $p,s,k,t$ - los números enteros nos preguntaron. Entonces las soluciones son.

$$a=(pt+ks)(k^2+t^2)ps$$

$$b=(pt-ks)((k^2+t^2)ps+(p^2+s^2)kt)$$

$$c=(pt+ks)(p^2+s^2)kt$$

$$S_g=4pskt(p^2t^2-k^2s^2)((k^2+t^2)ps+(p^2+s^2)kt)$$