¿Cómo se reparten los números reales en dos conjuntos equinominales (no triviales)?

Question

Es mejor explicar mi objetivo con un ejemplo simplificado.

Busco una función$f:(0,1)\rightarrow\{0,1\}$ tal que$\forall \varepsilon>0 \,\,\exists \text{ bijection }\varphi:\{x\in(0,\varepsilon): f(x) = 0\}\rightarrow\{ x\in(0,\varepsilon):f(x)=1\}$. Lo que esta función haría es que realmente dividiera$(0,1)$ en dos conjuntos disyuntivos equinominales, de manera que en cada intervalo infinitamente pequeño haya "número" igual de elementos de cada partición.

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Cada irracional en$(0,1)$ determina una secuencia infinita única de enteros positivos y viceversa , a través de fracciones continuadas:$$ x=\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{\dots}}}, $ $ Si la secuencia es tal que, a partir de algún punto, sólo$6$ s y $7$ s aparece, ponga$x$ en el primer set. De lo contrario, ponga$x$ en el segundo set. Ambos conjuntos cumplen cada intervalo en continuo ($=|\mathbb R|$) muchos puntos.

Answer 2

La forma en la que se formula el problema, sólo necesita$f^{-1}(0) \cap (0,\varepsilon)$ y$f^{-1}(1) \cap (0,\varepsilon)$ para contener un intervalo para cualquier$\varepsilon>0$ (de esa manera ambos son incontables). Por ejemplo,$$f(x)=\lfloor{1/x}\rfloor{\text{ mod }}2$ $ funcionará.

Answer 3

Para hacer la partición, es posible definir una función $f(x)$ mediante la siguiente operación. Deje $y$ la parte fraccionaria de $x$. Express $y$ en ternario, con ceros a la derecha si no es una opción. Si hay un número infinito de $2$'s en la expansión, establezca $f(x)=0$. De lo contrario, observa el dígito después de la última $2$, establecimiento $f(x)=0$ si es un cero y $f(x)=1$ si se trata de una $1$. Dentro de cualquier intervalo de tiempo, hay un subinterval de la forma $(\frac {3k+2}{3^m},\frac{3k+3}{3^m})$ Estos números tienen un $2$ $m$ lugar. Hay una cantidad no numerable seguidos sólo por $0$s y $1$s, por lo que una cantidad no numerable de $f(x)=0$ $f(x)=1$ en cada intervalo.

Answer 4

Sea$C$ el conjunto Cantor , y deje que$\mathbb Q$ sea el conjunto de todos los números racionales. Sea$A=\{s+t:s\in C,t\in\mathbb Q\}$, es decir,$A$ es la unión de todos los traductores racionales del conjunto de Cantor. Dejar $B=\mathbb R\setminus A$. Entonces$|A\cap I|=|B\cap I|=|\mathbb R|$ para cada intervalo$I=(a,b),a\lt b$.

Defina$f(x)=1$ if$x\in A$,$f(x)=0$ if$x\in B$.

Answer 5

Hmm, ¿qué tal si miramos el primer dígito diferente de cero en la expansión decimal de xy enviamos x a 0 si es impar y 1 si es evento?