Me gustaría tener un poco de ayuda para determinar para qué $r \in (0, \infty) \setminus \{1\}$ la siguiente serie converge:
$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{r^n - \frac{1}{r^n}}.$$
Tengo problemas con el hecho de que hay dos términos en el denominador que parecen estar "luchando" entre sí. Por ejemplo, cuando $r > 1$ la serie de arriba está dolorosamente cerca de la serie geométrica $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{r^n}$ . Pero, por desgracia, el $-\frac{1}{r^n}$ en el denominador hace que cada término $\frac{1}{r^n - \frac{1}{r^n}}$ algo mayor que su homólogo en la serie geométrica.
Mi objetivo final es que la serie real $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{r^n - \frac{1}{r^n}}$ ayúdame a analizar la convergencia de la serie compleja
$$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{1 + z^{2n}} =\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{z^n + \frac{1}{z^{n}}}, $$
para $z \neq 0$ y $|z| \neq 1$ . La conexión que veo entre la serie real y la compleja viene de la desigualdad del triángulo:
$$\displaystyle \frac{1}{|z^n + \frac{1}{z^{n}}|} \le \frac{1}{||z|^n - \frac{1}{|z|^n}|},$$
para $n \ge 1$ . Se agradecen mucho las sugerencias o soluciones.
