¿Qué significa realmente la probabilidad?

Question

Pido disculpas si la pregunta es un poco off-topic y no estrictamente matemáticos.

Para ser claro, estoy hablando de la clásica de probabilidad, la cual es definida de la siguiente forma: Dado un espacio muestral finito $S$, y un subconjunto de a $S$ a que llamamos evento $E$, la probabilidad de $P(E)$ evento $E$ $$P(E)=\dfrac{N(E)}{N(S)}$$

Donde $N$ denota el número de elementos de un conjunto.

Quiero entender qué noción tratamos de capturar a la hora de definir la probabilidad. Bernoulli, Laplace y otros, por cierto, había un cierto concepto en mente que quería describir y, por tanto, que formalizó dentro de esta definición.

Para explicar mi punto, considere el siguiente ejemplo: Tenemos un conjunto de datos, por ejemplo, un montón de números reales y queremos representar mediante un único número real. Así que la noción queremos capturar aquí es encontrar un número real que es el mejor representante de un grupo de números reales. Resulta que la media de los números es el mejor representante para ellos en el sentido de que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias(distancias) entre la media y cada número real en ese conjunto de datos.

Entonces, ¿qué noción queremos capturar por la definición de probabilidad? Me dijeron que si la probabilidad de un evento $E$ en un experimento, es decir, $0.3$, a continuación, si el experimento se realizó $n$ número de veces, $0.3n$ de los tiempos de evento $E$ va a suceder. Así que esta es la noción $P(E)$ supone para la captura.

Esta definición, tan lejos como la captura de este concepto hace perfecto sentido para mí en lo siguiente:

-Si un evento tiene una $P(E)=0$, entonces nunca va a suceder.

-Si un evento tiene una $P(E)=1$ entonces siempre va a pasar, o si realizamos el experimento $n$ veces $E$ se producirá $n$ veces.

Sin embargo, para $P(E)$ que tiene un valor entre 0 y 1, no sé cómo funciona. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire 10 veces, no se garantiza en absoluto que la mitad de los tiros le dará a usted la cabeza, peor aún, todos los lanzamientos a veces puede darte colas. Entonces, ¿qué está pasando aquí?

Cuando le pregunté por la justificación de que $P(E)$ realmente capta esta idea, he leído este es justificado por la ley de los grandes números: Se realiza un experimento determinado número de veces, digamos, por ejemplo, arrojar una moneda. Cuando se calcula la probabilidad de un lanzamiento de estar de la cabeza, se le asigna el número de $0.5$ a ese evento. Esto significa(Según mi comprensión de la ley de los grandes números) que a medida que el número de tirar la moneda se pone arbitrariamente grandes(número de ensayos aproxima a infinito), Cabezas de maquillaje $0.5$ del número total de monedas que dejan a un lado, o a un número que está muy cerca de a $0.5$ y que el número de ensayos aumento, se acercará a $0.5$.

Sin embargo hay algo circular acerca de esto: Cuando me preguntan ¿qué significa "justo" de la moneda significa? Es una moneda que, como nos sacude número arbitrariamente grande de veces, el número de sus cabezas enfoque de $0.5$.

Así que alguien puede aclarar las cosas para mí, y justificar por qué $P(E)$ capta lo que captura?

Answer 1

Cuando hablamos acerca de la probabilidad, por lo general, quieren expresar el resultado esperado. Así que ya en gran escala, una de las monedas, probablemente, de la tierra las cabezas de 50% del tiempo, y las colas de 50%. La probabilidad de que una moneda está radicalmente fuera de este punto crece más cerca de 0, hasta que se lanza una moneda infinidad de veces, donde la posibilidad de colas será muy diferente de la de los jefes es de 0. La probabilidad es la probabilidad de que algo ocurra. No es la intención de predecir los resultados. No debe decirle a usted lo que va a suceder, sin embargo, por lo general, es bastante precisa en gran escala (en otras palabras, en gran escala, existe una mayor probabilidad de probabilidad de ser el resultado.) En la vida real, si usted es una de esas personas que creen que el mundo es establecer, a continuación, en la vida real, todo lo que tiene probabilidad de cualquiera de las $1$ o $0$. Dios, ya sea destinado a suceder, o que Dios decidió que no va a suceder. Sin embargo, en un puramente mathimatical mundo, podemos usar la probabilidad como el resultado, el cual es útil en el resultado esperado (donde el resultado es la probabilidad de que, por ejemplo, cada vez que se lanza un dado, se obtiene 3.5), y los juegos de azar (que se supone que la probabilidad de su winnning * la recompensa es cuál será el resultado), debido a que dada una escala lo suficientemente grande, la probabilidad será probablemente reflejan el resultado. Aunque no tiene.

Esperemos que he respondido a su pregunta, si no, por favor deje un comentario y voy a tratar de arreglar mi respuesta :)

Answer 2

Puedo tratar de ponerlo simplemente en no matematician idioma. Si no entiendo lo que quieres preguntar, escribir en los comentarios, vamos a tratar de resolverlo juntos :)

Acerca de la ley de los grandes números aquí: tan lejos como me pongo, más que ocurren los acontecimientos - al menos aleatoriedad ocurrir. Vamos a la "feria" de la moneda (es decir, sin ningún tipo de deformación) tiene la primera cara (la cabeza) y la segunda (la cola). Estamos infinitamente lanzarlo y, finalmente, tener un porcentaje de "jefes". Ahora vamos a suponer que la primera parte, no estaba "en la cabeza", pero de "cola". El resultado debe ser el mismo, ¿verdad? Porque es la cosa idéntica, sólo que con otro nombre. Así que el único porcentaje que satisface aquí es de 50% o 0.5. Pero si la tira son finitos, por supuesto, algo de aleatoriedad ocurrir y no siempre es 0.5, pero aún más toss - el más probabilidad obtiene el valor de infinito lanzamientos. Y si para decir acerca de una sola tirada, sólo hay dos maneras ("cabeza" y "cola") y dos de ellos son idénticos (cambiando los nombres de la muestra) por lo dividimos 1 (resultados de un solo evento) por 2 (resultados posibles) y obtener 0.5.

Otro ejemplo. Hay una jaula donde no puede ser un león o un lobo. O ninguno. El máximo posible de eventos=3. Así que la probabilidad de ver el lobo de hoy es de 1/3. Y de ver el lobo o a un león=2/3 porque hay 2 eventos que nos satisface (ver a un lobo o a un león). Pero la probabilidad de ver el lobo Y el león es 0/3=0 porque no hay ningún evento posible cuando están juntos en la jaula. Vamos a hacer que sea más complicado. Hay una estadística que durante el último año de cada semana calendario lobo estaba en la jaula de 4 días a la semana y león, respectivamente, 2. Y un día en la semana de la jaula estaba vacía. Esto significa que para todo el tiempo que el lobo estaba allí 2 veces más a menudo que el león y el león era 2 veces más a menudo que la jaula estaba vacía. Así que si la probabilidad de que la jaula está vacía de hoy es igual a x, la probabilidad de ver al león=2x, y de ver el lobo es de 2*2x=4x. 4x+2x+x=1 por lo tanto x=1/7, "el lobo" probabilidad es 2/7 y "león" probabilidad es 4/7. Si el cálculo en términos de una sola semana (no la totalidad del periodo) el resultado es el mismo: 7 días en total, 4 días de un total de 7 son de león, etc. Si a modificar este ejemplo de nuevo y el estado que la jaula está vacía, sólo los domingos (no es el azar el día de la semana, como se ha indicado anteriormente) así que si voy allí el sábado la probabilidad de ver el león es 4/6=2/3. Porque el domingo no cuenta en este caso. Y si llego el domingo la probabilidad de ver jaula vacía es 1 (y, respectivamente, 0 para el león o el lobo). Eso es lo que la probabilidad de medios.

Para ser honesto, la probabilidad no es preciso una cosa, los ejemplos anteriores son muy artificiales. Como dicen, a veces la mierda que pasa :). El zoológico de observador podría enfermar y para toda la semana de la jaula podría permanecer vacío. O podría haber lobo allí todos los días, porque el observador cayó enfermo a la derecha después de que el día cuando el lobo estaba allí. Este es el azar factores. Y P(E) se refiere a la semejanza (pero no los estados que definitivamente va a ser de esta manera).

Answer 3

La definición que dio es un caso especial de que la medida estándar teórico de uno cuando restringida para muestras finitas de los espacios. En la general, pero todavía finito caso, usted tendría un peso para cada elemento de la $S$ que era de suma. Como lo que a las matemáticas se refiere, que es todo allí está a él. Esta es la razón por la que la gente está hablando acerca de la "filosofía" y de que incluso parecen reconocer que esto "no es estrictamente matemático".

Desde la referencia de Laplace, usted puede leer sus puntos de vista en Un Ensayo Filosófico sobre las Probabilidades. En particular, la segunda sección, "Concerniente a la Probabilidad", presenta sus puntos de vista. Es bastante claro que desde que él es un determinista (es decir, él cree que sólo hay un resultado real a cualquier escenario) y que la probabilidad sólo surge debido a nuestra ignorancia. En términos modernos, es sin duda un Bayesiano. Tendría que buscarlo, pero estoy bastante seguro de Bernoulli y de muchos de los primeros fundadores de la teoría de la probabilidad se Bayesians.

Mirando por qué decimos que una sacudida de moneda tiene probabilidad 1/2 desde este punto de vista, creo que es iluminación, especialmente en el siguiente experimento. Digamos que puedes confiar en mí completamente, y te digo una moneda es "parcial", de modo que una sacudida de moneda devuelve a cara o cruz, el 90% del tiempo, pero yo no le digo a usted que de cara o cruz es. Estoy a punto de voltear la moneda, ¿cuál es su probabilidad de que se llegará hasta las cabezas? Es de 1/2, al menos eso es lo que Laplace o un Bayesiano en general diría que, a pesar de que sabe que si volteado "muchas veces" es no venir a cara o cruz, en incluso de proporción. Usted puede incluso hasta el extremo, si "sesgada" desconcierta a usted (debe un poco): en lugar de 90%, yo digo 100%, por ejemplo, es una moneda con dos cabezas o dos colas, dicen.

¿Cómo o de Laplace obtener 1/2? Es a partir de la simetría. Si mis creencias sobre el resultado del lanzamiento de la moneda no cambian cuando yo cambio "cabezas" y "colas" en mis creencias anteriores, entonces debo asignar la misma probabilidad a las declaraciones que se diferencian sólo por el intercambio de "cabezas" y "colas". Esto es de Laplace del "Principio de Indiferencia" o "Principio de Razón Insuficiente". En el escenario anterior, la pieza principal de información previa fue "yo le digo a usted una moneda es 'parcial' de modo que una sacudida de moneda devuelve a cara o cruz, el 90% del tiempo", que es claramente equivalente a la declaración con los "jefes" y "colas" intercambia. Dicho esto, si usted tenía adicionales de información previa que iba a romper la simetría - tal vez usted sabe que tengo un estrafalario aversión a las caras, que no sería capaz de capaz de utilizar el principio de indiferencia.

A un Bayesiano, la idea intuitiva de que la noción matemática de probabilidad corresponde es "grado de creencia". Por supuesto, no tiene sentido hablar de mi "grado de creencia" en un conjunto. En lugar de $P(A|I)$, la probabilidad de $A$$I$, se define para las proposiciones $A$ $I$ . Podemos llegar a las reglas de la probabilidad, mediante la formulación de un conjunto de ecuaciones funcionales impulsado por "reglas de razonamiento racional". Estos funcional ecuaciones tienen una solución única (hasta monótono reescalado) que es $P$. Este resultado es de Cox teorema. Entonces, para obtener la versión que tenemos, nos vamos a $S$ ser un conjunto de proposiciones independientes y $P(E) \equiv P(\bigvee E | I)$ donde $I$ es el hecho de que las proposiciones en las $S$ son independientes y al menos uno tiene, y $\bigvee E$ es la disyunción de las proposiciones en las $E$. Si la información de fondo no dice nada más acerca de las proposiciones en las $S$, entonces, por el principio de indiferencia, tienen la misma probabilidad y recuperar el recuento fórmula que había. El Bayesiano perspectiva hace que la introducción de un "espacio muestral" igualmente probable proposiciones a partir de la cual todas las demás (relevante) proposiciones pueden ser derivados innecesario y poco natural.