Demostración de las identidades del cálculo vectorial

Question

Aquí están todas las identidades : http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities

Necesito ayuda sobre las funciones vectoriales y las notaciones de indexación.

Dejemos que $\overrightarrow{a}$ sea un campo vectorial (suave) y $\varphi$ sea una función escalar (suave). Mostrar $$ \overrightarrow {\nabla }\cdot \left( \varphi\,\overrightarrow {a}\right) = \varphi \left( \overrightarrow {\nabla }\cdot \overrightarrow {a}\right) +\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {\nabla }\varphi.$$

Tengo que utilizar esta notación para demostrarlo, pero ¿cómo?

Realmente no lo entiendo.

Mi segunda identidad es ; $$ \overrightarrow {\nabla }\times \left( \phi \cdot \overrightarrow {a}\right) $$

Answer 1

Esto es lo que ocurre en $\mathbb{R}^3$ con coordenadas rectangulares. Se puede ajustar según sea necesario.

Dejemos que $g(x,y,z)$ sea una función escalar suave y $\mathbf{F}(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$ sea un campo vectorial suave. Entonces \begin {align} \nabla \cdot (g\, \mathbf {F})&= \nabla\cdot ((gF_1,gF_2,gF_3)) \\ &=(gF_1)_x+(gF_2)_y+(gF_3)_z \\ &=g_xF_1+g(F_1)_x+g_yF_2+g(F_2)_y+g_zF_3+g(F_3)_z, \end {align} mientras \begin {align} \nabla g \cdot \mathbf {F}&=g_x F_1+g_y F_2+g_z F_3, \\ g\,( \nabla\cdot \mathbf {F})&=g\,((F_1)_x+(F_2)_y+(F_3)_z)=g(F_1)_x+g(F_2)_y+g(F_3)_z. \end {align} Sumando estos dos últimos se obtiene el primero.

Answer 2

Si JohnD ha interpretado el problema correctamente, así es como se trabajaría utilizando la notación de índices. Aquí, $i$ es un índice que va de 1 a 3 ( $a^1$ puede ser el componente x de $a$ , $a^2$ el componente y, y así sucesivamente).

$$\nabla \cdot (\varphi a) = \nabla_i (\varphi a^i)$$

Como todos estos son componentes (no vectores), puedes atacar esto con la regla del producto.

$$\nabla_i (\varphi a^i) = (\nabla_i \varphi) a^i + \varphi (\nabla_i a^i)$$

El primer término es $a \cdot \nabla \varphi$ y este último es $\varphi \nabla \cdot a$ .

Answer 3

Probablemente conozca la regla del producto $(uv)'=u'v +uv'$ .

Me han enseñado a utilizar dicha fórmula (que se desprende de la naturaleza derivada de $\nabla$ ):

$\nabla(\underline{uv}) = \nabla(\underline{u}v) + \nabla(u\underline{v})$

donde las derivadas funcionan en la parte subrayada de los paréntesis. En tu caso puedes factorizar $\varphi$ y $\vec{a}$ cuando no están bajo efecto de nabla, pero en otros casos (como $\nabla (\vec{a}\cdot\vec{b})$ ) no se puede hacer tan fácilmente, pero se puede derivar una fórmula para el producto punto a partir de la fórmula con subrayados.

Answer 4

Poniendo un campo vectorial suave U en los VECTORES DE LA UNIDAD, y una variable escalar ϕ $$\boldsymbol{U}=u_1\boldsymbol{i}+u_2\boldsymbol{j}+u_3\boldsymbol{k}$$ Ahora mostrando que

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{U}\phi)=\phi\boldsymbol{(\nabla\times U)}+\boldsymbol{\nabla}\phi\times\boldsymbol{U}$$

$$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{U}\phi)=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ u_1\phi&u_2\phi&u_3\phi \end{vmatrix}\\ =\left(\boldsymbol{i}\frac{\partial(u_3\phi)}{\partial y}+\boldsymbol{j}\frac{\partial(u_1\phi)}{\partial z}+\boldsymbol{k}\frac{\partial(u_2\phi)}{\partial x}\right)-\left(\boldsymbol{i}\frac{\partial(u_2\phi)}{\partial z}+\boldsymbol{j}\frac{\partial(u_3\phi)}{\partial x}+\boldsymbol{k}\frac{\partial(u_1\phi)}{\partial y}\right)\\ =\phi\left(\boldsymbol{i}\left(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}\right)+\boldsymbol{j}\left(\frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x}\right)+\boldsymbol{k}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\right)\right)+\left(\boldsymbol{i}\left(u_3\frac{\partial\phi}{\partial y}-u_2\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)+\boldsymbol{j}\left(u_1\frac{\partial\phi}{\partial z}-u_3\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)+\boldsymbol{k}\left(u_2\frac{\partial\phi}{\partial x}-u_1\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)\right)\\ =\phi\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ u_1&u_2&u_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ \frac{\partial\phi}{\partial x}&\frac{\partial\phi}{\partial y}&\frac{\partial\phi}{\partial z}\\ u_1&u_2&u_3 \end{vmatrix}=\phi\boldsymbol{(\nabla\times U)}+\boldsymbol{\nabla}\phi\times\boldsymbol{U}$$ ¡¡Divirtiéndose con el vector calaulus!! O:DDD