¿Está conectado el mapa ($T^4$,$S^2$)?

Question

Considere el conjunto$Map(T^4,S^2)$ de mapas continuos desde el toro 4 dimensonal$T^4$ a la esfera bidimensional$S^2$, dotado de topología abierta compacta, ¿podemos mostrar que no está conectado? ¿Cómo podemos calcular su homología singular y$\pi_1$?

Answer 1

Para la primera parte

Sugerencia 1: $$Map(X\times Y,Z)\cong Map(X,Map(Y,Z))$$

Sugerencia 2: $$\pi_i(Map(S^1,X))\cong\pi_{i+1}(X)$$

Sugerencia 3: $$\pi_4(S^2)\cong \mathbb{Z}_2$$

Para la segunda y tercera partes

Sugerencia 4: $$\pi_5(S^2)\cong\mathbb{Z}_2$$

Sugerencia 5: $$H_1(X)\cong \pi_1(X)^{ab}$$

Pista 6: Para mayor $H_k$, creo que voy a necesitar para recorrer la Leray espectral de la secuencia como lo que yo puedo decir, que será complicado, puede haber una manera más fácil que puede ser aplicada a la esfera y su loop-espacios (ver esta pregunta).

Answer 2

El aceptó respuesta es incorrecta. El problema está en la Pista 2, que combina mapas con unbased mapas, y, en particular, que combina la base de bucle espacio de $\Omega X$ de la punta de su espacio de $(X, x)$ (el espacio de los mapas de $S^1 \to X$ el envío de un punto de base fija en $S^1$$x$) con el unbased o bucle libre espacio de $LX$ de un espacio de $X$ (el espacio de los mapas de $S^1 \to X$, con ninguna otra hipótesis). Pista 1 y Pista 2 juntos se supone que para convencerte de que el espacio está looknig es el 4 veces basado en bucle espacio de $S^2$, que satisface

$$\pi_0(\Omega^4 S^2) \cong \pi_4(S^2) \cong \mathbb{Z}_2$$

pero eso no es cierto; el 4 veces basado en bucle espacio de $S^2$ es el espacio de los mapas de $S^4 \to S^2$ el envío de un punto de referencia fijo $S^4$ a un punto de referencia fijo $S^2$, y no tiene nada que ver con $T^4$. El espacio que estamos viendo es en realidad el 4 veces libre bucle espacio de $L^4 S^2$.