Considere el conjunto$Map(T^4,S^2)$ de mapas continuos desde el toro 4 dimensonal$T^4$ a la esfera bidimensional$S^2$, dotado de topología abierta compacta, ¿podemos mostrar que no está conectado? ¿Cómo podemos calcular su homología singular y$\pi_1$?
Respuestas
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Dan Rust
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Para la primera parte
Sugerencia 1: $$Map(X\times Y,Z)\cong Map(X,Map(Y,Z))$$
Sugerencia 2: $$\pi_i(Map(S^1,X))\cong\pi_{i+1}(X)$$
Sugerencia 3: $$\pi_4(S^2)\cong \mathbb{Z}_2$$
Para la segunda y tercera partes
Sugerencia 4: $$\pi_5(S^2)\cong\mathbb{Z}_2$$
Sugerencia 5: $$H_1(X)\cong \pi_1(X)^{ab}$$
Pista 6: Para mayor $H_k$, creo que voy a necesitar para recorrer la Leray espectral de la secuencia como lo que yo puedo decir, que será complicado, puede haber una manera más fácil que puede ser aplicada a la esfera y su loop-espacios (ver esta pregunta).
El aceptó respuesta es incorrecta. El problema está en la Pista 2, que combina mapas con unbased mapas, y, en particular, que combina la base de bucle espacio de $\Omega X$ de la punta de su espacio de $(X, x)$ (el espacio de los mapas de $S^1 \to X$ el envío de un punto de base fija en $S^1$$x$) con el unbased o bucle libre espacio de $LX$ de un espacio de $X$ (el espacio de los mapas de $S^1 \to X$, con ninguna otra hipótesis). Pista 1 y Pista 2 juntos se supone que para convencerte de que el espacio está looknig es el 4 veces basado en bucle espacio de $S^2$, que satisface
$$\pi_0(\Omega^4 S^2) \cong \pi_4(S^2) \cong \mathbb{Z}_2$$
pero eso no es cierto; el 4 veces basado en bucle espacio de $S^2$ es el espacio de los mapas de $S^4 \to S^2$ el envío de un punto de referencia fijo $S^4$ a un punto de referencia fijo $S^2$, y no tiene nada que ver con $T^4$. El espacio que estamos viendo es en realidad el 4 veces libre bucle espacio de $L^4 S^2$.
