¿Hay algunas estrategias para demostrar que un conjunto tiene una medida cero?

Question

Todavía estoy confundido con los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ con medida cero. Quiero decir, sé que la definición muy bien: un subconjunto $A$ $\mathbb{R}^n$ tiene medida cero si para cada a $\epsilon > 0$ dado que hay un enumerable cubierta $\{U_i : i \in \Bbb N\}$ $A$ por cerrado o abierto rectángulos tal que $\sum_{i=1}^\infty \operatorname{vol}(U_i)<\epsilon$.

Eso está bien, pero encontrar esta colección dependiendo $\epsilon$ parecen ser complicado. La secuencia de las sumas parciales $\sum_{i=1}^k\operatorname{vol}(U_i)$ deberían converger, por lo que esto ya se restringe ¿cómo debemos elegir la colección. Y además de eso, en general yo todavía no cómo hacerlo.

Cuando se acredite la continuidad, límites, integrabilidad tengo una estrategia. Para la continuidad (en $\Bbb R^n$) de una función de $f$, por ejemplo, en un punto de $a$, escribo $|f(x)-f(a)|$ e intentar obligado en términos de $|x-a|$, y las cosas que sé que puedo obligado sin que se referirá a $x$. Para integrabilidad, yo hago lo mismo por la diferencia de $U(f,P)-L(f,P)$. Bueno, estos son solo algunos ejemplos de los casos que tengo una idea de un camino para empezar, obviamente, cada caso requiere de un pensamiento diferentes, pero yo tengo un punto de partida.

Lo que se trata de probar un conjunto de medida cero? Lo que debería ser un buen punto de partida? Hay algunas estrategias que podemos utilizar en estos casos? Creo que no hay estrategias, pero creo que es válido preguntar.

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Dos estrategias comunes para demostrar que un conjunto $A$ tiene una medida de $0$ son:

1. Encontrar un conjunto $B$, $A\subseteq B$, que también tiene una medida de $0$, pero es más fácil trabajar con. (Esto es común en la teoría de la probabilidad -- equivale a mostrar que algunos condición necesaria para el evento de $A$ está satisfecho con la probabilidad de $0$, lo que por supuesto implica que $A$ sí ocurre con una probabilidad de $0$.)

2. Encontrar una disminución de la secuencia $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $A\subseteq A_n$ todos los $n$$\mu(A_n)\rightarrow0$. (Por supuesto, esto es realmente una (1) en el disfraz, como, a continuación,$A\subseteq\bigcap_n A_n$, e $\mu(\bigcap_n A_n)\leq \mu(A_k)$ todos los $k$.)

Me doy cuenta de que estos no son muy concreto... pero, cada problema de esta naturaleza tiene sus propias complicaciones, por lo que creo que no puedo ser más específico.