Conocí a estos dos integrales, pero no saben cómo hacerlo:
$$I_1 = \int_0^T \frac{1}{t\sqrt{t(T-t)}}e^{-\frac{b^2}{2t}}dt$$
$$I_2 = \int_0^T \frac{1}{\sqrt{t(T-t)}}e^{-\frac{b^2}{2t}}dt$$
donde $b>0$, $T>0$.
Por favor ayuda?
Gracias a los éxitos de Fabien, para la primera, vamos a $t=\frac{T}{u^2+1}$:
$$I_1 = \int_0^T \frac{1}{t\sqrt{t(T-t)}}e^{-\frac{b^2}{2t}}dt = \frac{2}{T}e^{-\frac{b^2}{2T}} \int_0^{+\infty} e^{-\frac{b^2}{2T}u^2} du = \frac{\sqrt{2\pi}}{b\sqrt{T}} e^{-\frac{b^2}{2T}} $$
parece ser que este conteo con Mhenni Benghorbal del resultado.
Para el segundo, vamos $t=\frac{T}{u^2+1}$, $a^2=\frac{b^2}{2T}$:
$$I_2 =2 e^{-\frac{b^2}{2T}} \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} e^{-\frac{b^2}{2T}u^2} du =2 e^{-a^2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} e^{-a^2u^2} du := 2 e^{-a^2} I_3 $$
Entonces
$$I_3 = \int_0^\infty \frac{1}{1+u^2} e^{-a^2u^2} du = \int_0^\infty du\, e^{-a^2u^2} \int_0^\infty e^{-x(1+u^2)} dx = \int_0^\infty dx\, e^{-x} \int_0^\infty e^{-(a^2+x)u^2} du$$
Por lo $$I_3 = \int_0^\infty dx e^{-x} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^2+x}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{a^2+x}} dx$$
Deje $t=\sqrt{a^2+x}$, por lo que $x=t^2-a^2$, $dx = 2tdt$,
$$I_3 = \sqrt{\pi} \int_a^\infty e^{-(t^2-a^2)} dt = \sqrt{\pi} e^{a^2} \frac{\sqrt{\pi}}{2}\, \text{erfc}(a)$$
Por lo $$I_2 = 2e^{-a^2} I_3 = \pi \, \text{erfc} \left(\frac{b}{\sqrt{2T}}\right)$$
Mismo como Mhenni Benghorbal la respuesta, $$I_2= \, \pi- {{\rm fer}\left( {\frac {b}{\sqrt {2}}}\right)}.$$
YEAH!
