$G'$ y el producto de todos los elementos en un grupo de orden impar

Question

Ayer, al trabajar en una pregunta Grupos con un solo elemento de orden 2 , don antonio sacó una bonita pregunta dentro de los comentarios:

El producto de todos los elementos en un grupo de orden impar $G$ siempre está contenido en el subgrupo derivado del grupo$G'$.

Honestamente, traté de vincular algunos hechos para demostrar que, pero, no funcionó. Gracias por cualquier pista para eso.

Answer 1

Sea$\,G\,$ un grupo,$\,G'=[G,G]=\,$ su subgrupo derivado o conmutador, entonces tenemos lo siguiente:

(1)$\,G/G'\,$ es abeliano y, por tanto,

(2) Cualquier producto en$\,G/G'\,$ se puede arreglar a voluntad por (1), y finalmente

(3) El producto de todos los elementos de un grupo con un número impar de elementos está en$\,G'\,$ ya que el producto de sus imágenes en$\,G/G'\,$ es trivial.

Answer 2

@Babak, hay una muy cuidada pero en el fondo el resultado aquí, que va un paso más allá.

Deje $G$ ser un grupo finito de orden $n$, decir $G=\{g_1, g_2, ..., g_{n-1}, g_n\}$ y definen $P(G)=\{g_{\sigma(1)} \cdot g_{\sigma(2)} \cdot \cdot \cdot g_{\sigma(n-1)}\cdot g_{\sigma(n)}: g_i \in G, i=1,... ,n$$\sigma \in S_n\}$, en otras palabras $P(G)$ es el conjunto de todos los posibles productos de $n$ diferentes elementos de $G$. (Por supuesto, el resultado de ese producto, depende del orden de los elementos, $G$ no tiene que ser abelian aquí!). Deje $P$ ser un Sylow $2$-subgrupo de $G$.

Si $P$ es no-cíclico o $\{1\}$ (que es $|G|$ es impar), entonces $P(G)=G'$.

Si $P$ es cíclica y, a continuación, $P(G)=xG'$ donde $x$ es el elemento único de la orden de $2$$P$.

Answer 3

Considerando el cociente$G/G^\prime$, basta con demostrar que el producto de todos los elementos de un grupo abeliano de orden impar es trivial. Esto es cierto porque para cada$x$ que aparece en el producto,$x^{-1}$ también aparece y$x\ne x^{-1}$.