Expansión en serie de potencias del producto de Blaschke

Question

Supongamos que $B$ es un producto de Blaschke con al menos un cero fuera del origen, y $B(z)=\sum_{k=0}^\infty {c_kz^k}$ . ¿Es posible que $c_k\ge0$ para todos $k=0,1,\ldots$ ?

Mi intento: Desde $B(z)$ toma valores reales en el eje real, por el principio de reflexión de Schwarz, sabemos $B(\bar z)=\overline{B(z)}$ . Esto sucede si y sólo si, para cada cero de $B$ su conjugado debe ser un cero de $B$ también.

No tengo ni idea de cómo utilizar el supuesto $c_k\ge0$ . ¿Alguien puede dar una pista? Gracias.

Por cierto, supongo que la respuesta es negativa, ¿no?

Nota: Un producto Blaschke se refiere al producto infinito/finito $$B(z)=z^k\prod_n\frac{z-\alpha_n}{1-\bar\alpha_nz}\frac{|\alpha_n|}{\alpha_n},$$ donde $k\in\mathbb N$ y $\sum_n(1-|\alpha_n|)<+\infty$ , $\color{red}{0<|\alpha_n|<1}$ .

Answer 1

Prueba con $$\alpha_1 = 4,\ \alpha_2 = 3, \alpha_3 = 2 i,\ \alpha_4 = -2 i$$ $$ \eqalign{ B &= {\frac { \left( z-4 \right) \left( z-3 \right) \left( z-2\,i \right) \left( z+2\,i \right) }{ \left( 1-3\,z \right) \left( 1-4\, z \right) \left( 1+2\,iz \right) \left( 1-2\,iz \right) }}\cr &= 48+308\,z+1404\,{z}^{2}+6237\,{z}^{3}+27516\,{z}^{4}+117348\,{z}^{5}+ 488424\,{z}^{6}+ \ldots} $$