Volumen de

Question

= \ {(X, y, z) \ en \ mathbb {R} ^ 3: \ sqrt {x ^ 2 y ^ 2} \ le z \ le \ sqrt { Usando el teorema del centroide de Pappu, pero estoy en problemas al evaluar el volumen sin usar este teorema. . ¿puede alguien ayudarme? ¡Gracias!

Answer 1

Aquí están algunas ayudas. Usted dice que usted sabe las coordenadas cilíndricas, así que voy a usar ese enfoque (aunque hay varios otros enfoques, tales como arandelas, cáscaras cilíndricas, esféricas coordenadas, y Vilano del teorema).

Como se puede ver desde este lado de la vista (el ojo en el avión $z=0$), el volumen deseado es entre dos conos y en el interior de una esfera. Utilizamos las coordenadas cilíndricas, y reescribir su desigualdades en el uso de $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

$$r \le z \tag{1}$$ $$z \le \sqrt 2r \tag{2}$$ $$r^2+z^2 \le 3 \tag{3}$$

La desigualdad (1) implica que $z$ es no negativo, por lo que debemos mirar sólo en la mitad superior del diagrama. Podemos reescribir esas desigualdades a poner límites en $r$:

$$r \ge \frac{z}{\sqrt 2} \qquad\text{from (2)} \tag{4}$$ $$r \le z \qquad\text{copying (1)} \tag{1}$$ $$r \le \sqrt{3-z^2} \qquad\text{from (3)} \tag{5}$$

El diagrama muestra que hay dos regiones. En la primera región, la "cuña," $r$ está limitada por los conos definida por las desigualdades $(4)$$(1)$. Que la región comienza en la parte inferior a $z=0$ y se detiene en la parte superior donde el cono en $(1)$ cruza la esfera en la $5$. Podemos encontrar que el valor de $z$ ser igualando las dos expresiones:

$$z=\sqrt{3-z^2}$$

La solución a eso es $z=\sqrt{\dfrac 32}$. Así, por $0\le z\le \sqrt{\dfrac 32}$ tenemos $\dfrac{z}{\sqrt 2}\le r\le z$. Usted puede integrar con los límites en $z$$r$, e $0\le \theta\le 2\pi$. Esto nos da la integral

$$V_1=\int_{0}^{\sqrt{3/2}} \int_{z/\sqrt 2}^z \int_{0}^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz$$

Hay otra región por encima de eso, el "anillo" entre el interior y el cono y la esfera. La parte inferior de la región es de nuevo $z=\sqrt{\dfrac 32}$. La parte superior es la intersección del cono definido por $(4)$ y el ámbito definido por $(5)$. Encontramos que el valor superior de $z$ nuevo por la equiparación de las expresiones:

$$\frac{z}{\sqrt 2}=\sqrt{3-z^2}$$

La solución a eso es $z=\sqrt 2$. Así, por $\sqrt{\dfrac 32}\le z\le \sqrt 2$ tenemos $\dfrac{z}{\sqrt 2}\le r\le \sqrt{3-z^2}$. De nuevo, usted puede integrar con los límites en $z$$r$, e $0\le \theta\le 2\pi$. Esto nos da la integral

$$V_2=\int_{\sqrt{3/2}}^{\sqrt 2} \int_{z/\sqrt 2}^{\sqrt{3-z^2}} \int_{0}^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz$$

Encontrar esos dos volúmenes, agregarlos, y su volumen.

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En un comentario que le preguntó si la misma técnica podría funcionar si ambos raíces cuadradas fueron retirados de la limitación de las desigualdades. La respuesta es sí, pero los límites de las integrales que iba a cambiar.

La resultante de los límites en $r$, entonces sería

$$r\le\sqrt z, \quad, r\ge\sqrt{\frac z2}, \quad, r\le\sqrt{3-z^20}$$

Hemos vuelto a conseguir dos regiones. El límite inferior de la primera es $z=0$. El límite superior está dado por la combinación de la primera y la última de las desigualdades, lo que le da el límite superior

$$z=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$

La segunda región del límite inferior es la primera del límite superior. El segundo límite superior está dado por las dos últimas desigualdades, que da $z=\frac 32$. Así que sus dos integrales sería

$$V_1=\int_0^{(-1+\sqrt{13})/2}\int_{\sqrt{z/2}}^{\sqrt z}\int_0^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz$$

$$V_2=\int_{(-1+\sqrt{13})/2}^{3/2}\int_{\sqrt{z/2}}^{\sqrt{3-z^2}}\int_0^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz$$

Answer 2

En caso de que sea de interés, esta integral se puede hacer en coordenadas esféricas. Si $\theta$ denota la longitud y $\phi$ denota colatitud, el sólido $\Gamma$ está definido por $$ 0 \leq \theta \leq 2\pi,\quad \arctan(1/\sqrt{2}) \leq \phi \leq \pi/4,\quad 0 \leq \rho \leq 3; $$ el volumen de $\Gamma$ es por lo tanto $$ \int_{0}^{2\pi} \int_{\arctan(1/\sqrt{2})}^{\pi/4} \int_{0}^{3} \rho^{2} \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta, $$ o

$18\pi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$.