Apenas estoy aprendiendo a trabajar con redes. Estoy intentando la prueba de que $X$ compacto $\implies$ cada netos en $X$ tiene un convergentes de subred, y me pregunto si me voy a complicar.
Supongamos $\langle x_i \rangle _{i \in I}$ es un netos en $X$. Definir $F_i\subset X$$F_i := \operatorname{Cl} \left(\{ x_j: j \succeq i \} \right)$. Observar que $\{ F_i \}$ tiene la intersección finita de la propiedad, debido a dado $\cap_{k=1}^n F_{i_k}$, tome $i^*:= \operatorname{Join}(i_1, \dotsc, i_n)$ y, a continuación,$x_{i^*} \in \cap_{k=1}^n F_{i_k}$. Ahora por compacidad, existe $x\in \cap_{i \in I}F_i$.
Parece claro que la red debe "volver con frecuencia" a cada barrio de $x$, y por lo que podemos definir convergente de subred. Pero mi construcción de la subred se convirtió en algo involucrados, y me preguntaba si había una manera más sencilla.
Tengo que encontrar una dirigida set $J$ y una función de $g: J \to I$ tal que $j_1 \succeq j_2 \implies g(j_1) \succeq g(j_2)$ $g(J)$ es cofinal en $I$. Lo elegí por $J$ fueron etiquetados vecindarios $\mathcal{O}$$x$, "etiquetado" con un elemento $i \in I$ tal que $x_i \in \mathcal{O}_i$. Ahora podemos ordenar $J$ $\mathcal{O}_{i_1} \succeq \mathcal{O}_{i_2}$ fib $\mathcal{O}_{i_1} \subseteq \mathcal{O}_{i_2}$$i_1 \succeq i_2$. Ahora definir la función de $g:J \to I: \mathcal{O}_i \mapsto i$. (Las etiquetas han permitido que el mismo vecindario ser considerados como diferentes elementos en $J$ basado en las diferentes etiquetas.)
Puedo reclamar $J$ es dirigido conjunto bien definido de combinación, que $g(J)$ es cofinal en $I$, y que define una subred que converge a $x$.
¿Alguien tiene un menos complicado camino para la construcción de la convergentes de subred?
