Generación de función de coeficientes binómicos ${n\choose5}$

Question

Cómo probar fácilmente esta identidad para la serie (casi clásica) con coeficientes binomiales:

$$ \sum_{n=5}^\infty \dfrac{\binom{n}{5}}{2^{n+1}} = 1. $$

Gracias. Cualquier prueba inteligente sería mucho apreció.

Answer 1

Diferenciar $k$ veces la identidad, válida para $|t|\lt1$, $$\sum_{n\geqslant0}t^n=\frac1{1-t}$ $ da $$ \sum_{n\geqslant k} t {n\choose k} ^ {n+1} = \frac {t ^ {k+1}} {(1-t) ^ {k+1}} = \left (\frac {t} {1-t} \right) ^ {k+1}. $$ uso para $$k=5,\qquad t=\frac12.$ $

Answer 2

El teorema del binomio dice $$(1-x)^{-6}=\sum_0^{\infty}{n+5\choose5}x^n$$ Rewrite as $$(1-x)^{-6}=\sum_{n=5}^{\infty}{n\choose5}x^{n-5}$$ Multiply by $ x^6$ to get $$x^6(1-x)^{-6}=\sum_{n=5}^{\infty}{n\choose5}x^{n+1}$$ Now let $x=1/2$.