Morfismo que no es una asignación de

Question

Me he encontrado con una declaración en Lang Álgebra (Revisado), Tercera Edición, página 53) sobre morfismos de los objetos que me parece extraño: "En la práctica, en este libro podemos ver que la mayoría de nuestros morfismos son en realidad las asignaciones, o estrechamente relacionadas con las asignaciones."

Siempre he tenido la impresión de que los términos 'mapeo' y 'morfismos' son sinónimos en el contexto de las categorías. Tal vez es sólo el caso de que Lang define los dos en una forma que ellos no están de acuerdo, pero no puedo encontrar como un ejemplo. Son en realidad diferentes? Si es así, ¿cuál es un ejemplo de una de morfismos que no es una asignación?

Answer 1

Para cualquier conjunto % preordenado $X$, uno puede definir una categoría cuyos objetos son los elementos de $X$, que $\mathrm{Mor}(x,y)$ tiene un elemento si $x\leq y$ y está vacía de lo contrario. Esto define una categoría porque $x\leq x$ % todo $x\in X$y si $x\leq y$ y $y\leq z$ y $x\leq z$.

Para otro ejemplo, cualquier monoid $M$ define una categoría con un objeto, cuyo conjunto de morfismos es el monoid $M$. La ley de la composición está dada por la operación del monoid.

Answer 2

Una de mis favoritas "contraejemplos" a ideas preconcebidas sobre categorías es álgebra matricial:

• Los objetos son los números naturales
• Las flechas son matrices ($\hom(m,n)$ es la colección de matrices de $n \times m$)
• Composición de flechas es el producto matricial

Answer 3

He aquí una de origen natural ejemplo (que viene de la teoría de la computabilidad) de una categoría cuyos morfismos en realidad no son "mapas" en cualquier sentido:

• Los objetos son sólo los conjuntos de números naturales.

• Un pre-morfismos de $A$ $B$es una máquina de Turing $\Phi_e$ tal que $\Phi_e^A=B$.

Decimos que dos pre-morfismos $\Phi_{e_0}, \Phi_{e_1}: A\rightarrow B$ son equivalentes (y escribir $e_0\sim e_1$) si para cada $X, n$, $$\Phi_{e_0}^X(n)\cong \Phi_{e_1}^X(n)$$ (where "$P\cong P$" means "either both $P$ and $P$ are undefined, or $P$ and $P$ se definen y son iguales entre sí").

• Una de morfismos es entonces una equivalencia de la clase de pre-morfismos: $$Hom(A, B)=\{\{e_1: e_1\sim e_0\}: \Phi_{e_0}^A=B\}.$$

Ahora cada objeto es un conjunto . . . pero los morfismos no actúan como funciones entre los conjuntos! (Esta es la diferencia fundamental entre muchos-una reducción y reducción de Turing.) Mientras tanto, cada uno de morfismos es una función - en concreto, una función parcial de$2^\omega$$2^\omega$-, pero este comportamiento funcional en realidad no se refleja en lo que un determinado morfismos hace a un objeto dado! Por lo que esta categoría no satisfacer la intuición de que morfismos son las funciones entre los objetos.