Geometría de tríos pitagóricos en el círculo unitario

Question

Esta pregunta surgió de mi intento de demostrar de forma independiente que los tríos pitagóricos son densos en el círculo unitario.

Supongamos que normalizo los tríos pitagóricos de modo que se encuentren en el círculo unitario. Dados dos tríos pitagóricos $P_1=(x_1,y_1)$ formando un ángulo $\theta_1$ con el eje $x$ no negativo y $P_2=(x_2, y_2)$ formando un ángulo $\theta_2$ puedo realizar la operación geométrica de rotar $P_1$ por $\theta_2$ para crear otro trío pitagórico (demostrado a través de identidades trigonométricas).

Mis preguntas son:

¿Qué se sabe sobre esta operación? ¿Está relacionada con otros métodos de generación de tríos pitagóricos?

Esta operación define un grupo. ¿Es interesante? Una mirada rápida sugiere que no tiene torsión.

Answer 1

Hay mucho que decir aquí; aquí hay algunos comentarios que se me vienen a la mente.

Es más natural mirar todos los puntos racionales en el círculo $x^2 + y^2 = 1$ (así permitiendo valores negativos y cero de $x, y$). De hecho, sea $R$ un anillo conmutativo. Entonces los puntos $R$-racionales en el círculo (con lo que me refiero al conjunto de todos los pares $(x, y) \in R^2$ tal que $x^2 + y^2 = 1$) naturalmente forman un grupo, que se podría llamar $\text{SO}_2(R)$, con la operación de grupo la fórmula de adición de ángulos de coseno y seno

$$(x_0, y_0) \cdot (x_1, y_1) = (x_0 x_1 - y_0 y_1, x_0 y_1 + x_1 y_0).$$

Esto es equivalente al grupo de todas las matrices $2 \times 2$ sobre $R$ con determinante $1$ cuyas transpuestas son sus inversas, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. A medida que $R$ varía sobre todos los anillos conmutativos, $\text{SO}_2 (-)$ se organiza en un esquema de grupo.

Ahora supongamos que $R = k$ es un campo. Hay un método geométrico estándar para producir puntos con valor en $k$ en el círculo, que es el siguiente: considera una recta que pase por el punto $(-1, 0)$ con una pendiente en $k$. Entonces interseca el círculo con a lo sumo otro punto, que también debe tener coordenadas en $k$. A la inversa, cualquier punto racional en $k$ en el círculo está conectado a $(-1, 0)$ por una línea con pendiente en $k$. Esto reproduce el método estándar de generación de triángulos pitagóricos cuando $k = \mathbb{Q}$, pero también es aplicable, por ejemplo, a campos finitos.

Explícitamente, escribiendo

$$x = t - 1, y = st$$

para la ecuación paramétrica de una línea de pendiente $s$ que pasa por $(-1, 0)$, tenemos que el otro punto de intersección satisface

$$(t - 1)^2 + (st)^2 = (1 + s^2) t^2 - 2t + 1 = 1$$

y por lo tanto $t = \frac{2}{1 + s^2}$, lo que da la parametrización racional estándar

$$x = \frac{1 - s^2}{1 + s^2}, y = \frac{2s}{1 + s^2}.$$

En $\mathbb{R}$, si escribimos $x = \cos \theta, y = \sin \theta$, entonces un argumento geométrico directo da $s = \tan \frac{\theta}{2}$. Por lo tanto, en términos de esta nueva coordenada $s$, la operación de grupo ahora está dada por la fórmula de adición de ángulos tangentes.

Esto no sucede en $\mathbb{Q}$, pero en general, por ejemplo, en campos finitos, a veces sucede que $1 + s^2 = 0$, en cuyo caso los puntos correspondientes están indefinidos. Si trabajamos proyectivamente entonces estos puntos se interpretan como puntos en el infinito. Contar soluciones a ecuaciones sobre campos finitos lleva a algunas aguas profundas, y contar soluciones a ecuaciones cuadráticas sobre campos finitos en particular se puede usar, por ejemplo, para demostrar la reciprocidad cuadrática.

Desde un punto de vista más numérico, para un campo $k$ los puntos racionales en el círculo también se pueden interpretar como el grupo de elementos de norma $1$ en $k[i]$. En esta dirección, ver, por ejemplo, El Teorema 90 de Hilbert como otra forma de llegar a la parametrización estándar de triángulos pitagóricos.

Aquí, la operación de grupo sobre $\mathbb{Q}$ se interpreta como multiplicación en el campo de fracciones de los enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$, y por lo tanto una forma de entender cómo se comporta es comprender la factorización única de primos para los enteros gaussianos. (Comparar: una forma de entender cómo $\mathbb{Q}^{\times}$ se comporta es comprender la factorización única de primos para los enteros.) Una vez que sepas cómo funciona esto, no es difícil probar la descripción de $\text{SO}_2(\mathbb{Q})$ dada por el enlace de Travis en los comentarios.

Esta historia completa se puede pensar como un caso degenerado de la historia correspondiente para curvas elípticas; echa un vistazo a la operación de grupo en las curvas de Edwards.