¿Por qué operador de masa y la fuerza externa toman valores en $T^*M$ en este modelo?

Question

Estoy leyendo Una Introducción a la Geometría de Riemann con las aplicaciones de la Mecánica y de la Relatividad de einstein por Godinho y Natario, y que el modelo de la mecánica de la siguiente manera: un sistema mecánico es un triple $(M,\langle\cdot,\cdot\rangle, \mathscr{F})$, donde:

• $M$ es un buen colector (el espacio de configuración);

• $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es una métrica de Riemann en $M$, lo que define una masa operador $\mu:TM\to T^*M$ $\mu({\bf v})({\bf w})\doteq \langle {\bf v},{\bf w}\rangle$ y

• la fuerza externa $\mathscr{F}$, que es un mapa de $\mathscr{F}:TM\to T^*M$ satisfacción $\mathscr{F}(T_pM)\subseteq T_p^*M$ por cada $p\in M$.

Luego se proceda al estudio de las mociones $c:I\to M$ cuales son las soluciones a la ecuación de Newton $$\mathscr{F}(c') = \mu\left(\frac{Dc'}{{\rm d}t}\right),$$among other things. I know that we can see $TM$ as the space of positions and velocities and $T^*M$ as the space of positions and momenta, and although I notice the striking resemblance of Newton's equation with his second law $F=ma$, estoy teniendo problemas para entender

1) ¿por qué la masa del operador y la fuerza externa debe ser $T^*M$valores;

2) la relación entre el $\mu$ y el musical isomorfismo $\flat$ utiliza para reducir los índices de uso de $\langle \cdot,\cdot\rangle$, debido a que son formalmente la misma;

3) ¿cómo se interprete la condición de $\mathscr{F}(T_pM)\subseteq T_p^*M$.

Yo probablemente debería punto de que yo soy un graduado en matemáticas de estudiantes tratando de entender un poco de la mecánica, por lo que probablemente entender más matemático orientado respuestas mejor.

---

Era difícil elegir una respuesta a aceptar. Todas las respuestas eran muy grandes. Espero que para entender la física lo suficientemente bien como para contribuir con el foro como esta algún día. Gracias a todos!

Answer 1

Voy a responder a estos en un orden que hace que la exposición un poco más conciso.

2) El Isomorfismo Inducida por la Estructura de Riemann

Vas a tener que decir más acerca de las definiciones de que se le dio para explicar por qué usted está confundido, son la misma cosa, y ya que voy a estar utilizando a lo largo de esta respuesta voy a escribir para fijar la notación:

\begin{equation} \mu: TM \to T^*M ,~~ v \mapsto \langle v, \cdot\rangle \end{equation}

3) El Paquete De Morfismos:

Esta es la declaración de que los siguientes desplazamientos $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} TM & \ra{\mathcal F} & T^*M \\ \da{\pi_M} & & \da{\pi_{T^*M}}\\ M & \ra{Id} & M \\ \end{array} $$

Hay una mejor manera de decirlo. La categoría de suave vector de paquetes, $\hat V$, admite que un functor $Forget$ a la categoría de $\hat{M}$ de lisa colectores, el functor actúa sobre los objetos por medio de la proyección de la base del espacio, y en morfismos por componer con la proyección de los mapas. Este functor $\hat{V} \xrightarrow{Forget} \hat {M}$ es un groupoid fibration $M$. La de arriba, a continuación, dice $\mathcal F \in Hom_{\hat V}(TM, T^*M)$ es una de morfismos que se encuentra sobre la identidad en el groupoid fibration. $Forget^{-1}(Id_M)$ se dice que es la fibra a $M$, y es una groupoid. La declaración es entonces simplemente $\mathcal F$ vive en la fibra a $M$ en este olvides functor. (Ejercicio: todo esto es bastante obvio, pero si usted está familiarizado con estas construcciones es un lindo ejercicio para comprobarlo).

Este geométricamente dice que tenga un buen mapa que es "vertical", como en la que actúa como la identidad cuando se limita a ver la base del espacio. La siguiente sección debe responder a ¿por qué desea esta propiedad.

1) El Operador Diferencial

Tomamos las sugerencias de la física más respuestas en este hilo, y tenga en cuenta que, en general, desea describir su sistema por alguna función suave

\begin{equation} \mathcal L \in C^\infty(T^*M, \mathbb R) \end{equation}

Ahora el espacio de la tangente $T^*T^*M$ admite natural de la división dada por la secuencia exacta \begin{equation} 0 \to T^*M \xrightarrow{z} T^*T^*M \xrightarrow{p} V(T^*M) \to 0 \end{equation}

donde $z$ es el 0-sección e $p$ se administra localmente por la proyección a la fibra, la exactitud se define el paquete de $V$. Hay una natural paquete isomomrphism

$$ \varphi: V(T^*M) \T^*M $$

(Ejercicio: comprobar esto, por ejemplo, mediante la comparación de la tangente espacios en cada punto).

Ahora que su fuerza se supone que la sección determinada por la composición de la siguiente secuencia

$$ T^*M \xrightarrow{d\mathcal L} T^*T^*(M) \xrightarrow{p} V(M) \xrightarrow{\varphi}T^*M $$

Geométricamente es la "vertical/de la fibra" es un componente de la diferencial de $\mathcal L$, naturalmente visto como un campo de vectores en la cotangente del paquete. Ahora que la versión que tienes es una versión que actúa sobre la tangente paquete, usted puede construir por la pre-componer el isomorfismo natural. $$ TM \xrightarrow{\mu} T^*M \xrightarrow{d\mathcal L} T^*T^*(M) \xrightarrow{p} V(M) \xrightarrow{\varphi}T^*M $$

Quiere esto porque en su fórmula de Newton usted quiere tomar un campo de vector como argumento.

Para resumir, su fuerza se supone debe ser dado por la siguiente, por alguna función suave $\mathcal L$ \begin{equation} \mathcal F \equiv \varphi \circ p \circ d\mathcal L \circ \mu: TM \to T^*M \end{equation}

Esto responde la pregunta 1). Ahora, de vuelta a 3), observar simplemente hemos proyectado a nosotros mismos para secciones verticales cuando se aplica la proyección de $p$.

Editar/Apéndice: comida para llevar

Como yo estaba caminando a casa desde el bar donde escribí esto empecé a preguntarme por qué (aparte de Bourbon), me escribió esto acerca de algo que parece ser un menor de edad notación/definición de la confusión. He aquí lo que pienso:

Estamos mirando a un segundo orden de la ecuación diferencial en un colector de Riemann. A priori, el operador diferencial que define que debe vivir en algunos de jet. Sin embargo todos sabemos que nos puede escribir como una ecuación de campos vectoriales en la tangente del paquete. Por qué?

De la discusión anterior, la propiedad crucial que hace esto posible es que el diferencial de operador $\mathcal F$ da una sección en todas partes verticales en el paquete. Del mismo modo, si la sección estaba en todas partes horizontal, el análisis es de nuevo es fácil, porque tenemos de nuevo un isomorfismo de la horizontal subbundle (o simplemente observar la inclusión es sólo el 0-sección así que la solución de esta ecuación diferencial debe ser fácil). Nada desviarse de estos casos son los obstáculos a nuestra capacidad para escribir la ecuación diferencial en la tangente del paquete. Este es el takeaway importante aquí.

Answer 2

1) ¿por qué la masa del operador y la fuerza externa debe ser $T^*M$valores;

Sin duda, ésta tiene más que ver con la física de la geometría (contratante impulso con una dirección de los rendimientos de la "cantidad de movimiento" en esa dirección, la curva integral sobre la relativista impulso covector los rendimientos de la acción, ...).

Pero tenga en cuenta que geométricamente, esto nos permite derivar las fuerzas de los potenciales (lo que abre la vía hacia el Hamiltoniano y Lagragian formulaciones).

2) la relación entre el $\mu$ y el musical isomorfismo $\flat$ utiliza para reducir los índices de uso de $\langle \cdot,\cdot\rangle$, debido a que son formalmente la misma;

En este modelo en particular, son de hecho el mismo, a pesar de que no es necesariamente el caso en general: Si usted comprende la de Euler-Lagrange ecuaciones de Newton, la masa operador estaría dada por la fibra de derivados en su lugar.

3) ¿cómo se interprete la condición de $\mathscr{F}(T_pM)\subseteq T_p^*M$.

Eso es sólo la compatibilidad con el fibration, es decir, la fuerza que actúa en el mismo punto de base.

---

Como un aparte, también me gustaría señalar lo que necesita la derivada covariante: Sin conexión, la primera ley de Newton no tiene ningún sentido (no hay noción de líneas rectas o velocidades constantes sin estructura adicional).

Geométricamente, si usted está tratando con un sistema de segundo orden de la ecuación,

$$ c" = 0 $$

es incompatible con las condiciones iniciales $$ c' \no= 0 $$

debido a la estructura de ${\rm TT}M$, mientras que $$ {{\rm D}c' \over {\rm d}t} = 0 $$

funciona bien.

Answer 3

Bien,

1) ¿por qué la masa del operador y la fuerza externa debe ser $T^∗M$valores;

Para la masa del operador, esto es sólo las múltiples maneras en que usted puede representar tensor de productos. Una métrica de Riemann en el punto de $x\in M$ es un bilineal mapa de $T_xM\times T_xM\rightarrow\mathbb{R}$, así que si usted insertar un vector en un solo argumento, se convierte en un mapa de $T_xM\rightarrow\mathbb{R}$, lo cual es un elemento de $T^*_xM$. Por lo que elementos de mapas de $T_xM$ en elementos de $T^*_xM$. Cuando se extiende a todos los puntos, se convierte así en un vector paquete de isomorfismo $TM\rightarrow T^*M$ (este mapa respeta la fibration en el sentido de que si $\pi_{TM}(v)=x$,$\pi_{T^*M}(\mu(v))=x$).

Por la fuerza externa, esta es una muy torpe formulación, de la omi. La fuerza puede depender de las posiciones, velocidades (y posiblemente en 'externos' de tiempo, pero me voy a ignorar eso), así que es una función de $\mathcal F:TM\rightarrow X$ donde $X$ queda indeterminado, por ahora. En contexto general, donde la config. el espacio es $\mathbb{R}^3$, la fuerza se entiende por un dependiente de la velocidad del vector de campo, $\mathbf{F}(x,v)$. Debe ser entendido como una 1-forma, porque aunque el trabajo está dado por $W(c)=\int_cF=\int_c\sum_i F_idx^i$.

En el contexto general de la configuración de los espacios, que rara vez se definen las fuerzas, ya que preferimos trabajar con Lagrange o formalismo Hamiltoniano, donde no hay fuerzas. Sin embargo, si nos gustaría a las fuerzas abstractas, entonces se debe entender que el $X$ debe ser un espacio que alberga objetos que pueden ser integrados a lo largo de las curvas (curvas de $M$), por lo $\mathcal{F}:TM\rightarrow T^*M$ donde $\mathcal F$ es una vez más un paquete de morfismos (pero ahora ya no es necesariamente un isomorfismo). Sin embargo, en este caso, $\mathcal{F}$ normalmente no es un fibrewise lineal mapa, así que no debe ser entendido como un tipo (0,2) tensor de campo $\mathcal F_{ij}$, pero en lugar de como una $T^*M$ valores de la función en $TM$, $\mathcal F(x,v)_i$ (como matemático, puede ser molesto por el tensor índice de notación, pero creo que aquí se ofrece claridad).

2) la relación entre el $\mu$ y el musical isomorfismo $\flat$ utiliza para reducir los índices de uso de $\langle\cdot,\cdot\rangle$, debido a que son formalmente la misma;

Son los mismos.

3) ¿cómo se interprete la condición de $\mathcal{F}(T_xM)\subseteq T^∗_xM$

Lo que hay que subrayar aquí es que el mismo $x\in M$ aparece tanto en el espacio inicial y el destino de espacio. Esto es para enfatizar que $\mathcal F$ es una fibra paquete de morfismos, se conserva fibras, por lo $\mathcal F(x,v)$ toma valores en $T^*_xM$ mientras $\mathcal{F}(y,u)$ toma sus valores en $T^*_yM$.

Esto es porque 1) para calcular el trabajo a lo largo de un camino de $c$ tomar $W(c)=\int_c\mathcal{F}(c(t),c'(t))$, el tipo de sentido sólo cuando se $\mathcal{F}(c(t),c'(t))\in T^*_{c(t)}M$, 2) el sentido de Newton la ecuación, debido a que $\mu(Dc'/dt(t))$ es un elemento de $T^*_{c(t)}M$ desde $\mu$ es un vector paquete de morfismos, por lo $\mathcal {F}(c(t),c'(t))$ también debe ser en $T^*_{c(t)}M$.

Answer 4

Ok, voy a tratar de un torpe respuesta. Yo no respecto de la velocidad en función de las fuerzas como su texto sugieren.

Hay básicamente dos maneras de formular la mecánica clásica, Newtons ecuación y el formalismo de Lagrange. El formalismo de Lagrange es adecuado para extender a espacios curvos, así que aquí vamos con tv de espacio en primer lugar:

Definir $$ L(q,\dot{q})= \frac{m}{2}\dot{q}^2 - V(q)$$ con $m$ de la masa de la partícula, $q$ el vector de posición, $\dot{q}$ el vector de velocidad y $V$ el potencial. Se ha observado que si usted toma un camino de $q$ fijo de comienzo y final $q(t_1)=q_1$ $q(t_2)=q_2$ y calcular $$S[q] = \int^{t_2}_{t_1} L(q(t),\dot{q}(t))\, dt$$ $S$ ser una función de mapeo de las trayectorias de los números; que la verdadera trayectoria de una partícula que se toma está dada por la trayectoria en la que $S$ alcanza un extremo. (fija con puntos de inicio y fin) Las correspondientes ecuaciones se puede obtener mediante un método llamado cálculo de variaciones. Esto nos lleva a la de Euler-Lagrange las ecuaciones que son: $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}$$ Lado derecho se denomina fuerza y se puede ver que es en realidad un elemento de cotangential espacio (mapas de las direcciones de los números) que son, por supuesto, de Newton a la ecuación: $$ \frac{d}{dt} (m\dot{q}_i) = - \frac{\partial V}{\partial q_i}$$ Hasta ahora tan bueno. Ahora ¿cómo se puede generalizar la función de Lagrange para un colector, por lo que es escalar en virtud de transformación de coordenadas. Para el potencial de $V$, no hay problema, para la cinética plazo, usted necesita un producto escalar, por lo que terminaría con (aquí $(q, \dot{q})$ parametrizar el tangetial espacio) $$ L(q, \dot{q})= \frac{m}{2} \langle\dot{q},\dot{q}\rangle -V(q)$$ Ahora usted puede elegir para absorber el factor de $m$ también en el producto escalar. Esto explica lo $\mu$ tiene que ver con la masa.

Ahora haciendo el mismo tipo de variación de cálculo, (y el uso de $c$$q$), se debe terminar con algo a lo largo de la línea de

$$\frac{d}{dt}{\langle\dot{c}, \epsilon\rangle} = - dV(c) \cdot \epsilon$$ for all variations $\epsilon$. Ya que es para todas las $\epsilon$, y el producto escalar es independiente del tiempo, esto es equivalente a $$\mu\left(\frac{d}{dt} \dot{c}\right) = F(c)$$ con $F(c):= -dV(c)$. Esto ya se ve muy similar a lo que tengo, a excepción de $\dot{c}$ $F$ en su fórmula. Supongo que se extiende la presente para que también la velocidad en función de las fuerzas (desde la tangencial mapa contiene la posición, esto es una generalización)

Sí es un poco rara, pero tal vez usted puede ver de dónde vienen.

EDIT: Este es el único caso de partículas (como estoy seguro de que su pregunta habla), si vas multi-partícula, a continuación, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ mapa de $TM^n \times TM^n$ $R$lugar (también llamado a veces la masa de la matriz')