Límites y simplificación algebraica

Question

Por favor hágamelo saber lo que está mal en la siguiente simplificación algebraica que da un valor límite incorrecto.

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt {x^2 - 4x} - x)=\lim_{x \to \infty} (\sqrt {x^2 (1 - 4/x)} - x) $$
$$= \lim_{x \to \infty} (x\sqrt {1 - 4/x} - x)= \lim_{x \to \infty} x(\sqrt {1 - 4/x} - 1) $$

Cuando $x$ tiende a infinito, $4/x$ será insignificante y por lo tanto

$$= \lim_{x \to \infty} x(\sqrt {1 - 0} - 1)=\lim_{x \to \infty} x(1 - 1)=0 $$

Answer 1

Este es un error muy común y francamente no entiendo la razón por la que los estudiantes tienden a hacer este tipo de errores. Tal vez la mayoría de la gente cree que no hay reglas de cálculo. Como en la manipulación algebraica uno es consciente del hecho de que la suma es conmutativa, pero la división es que no hay reglas también los límites y uno tiene que trabajar de acuerdo a esas reglas sólo. No hay ninguna regla específica que nos permite reemplazar $4/x$$0$. Así que tal manipulación no está justificada. La idea de que los límites pueden ser evaluados usando la mano saludando técnicas basadas en argumentos como "algo que es insignificante en comparación con algo más" tiene que ser descartada en serio.

Recuerde que el significado de la ecuación $$\lim_{x\to\infty} \frac{4}{x}=0$$ is not that whenever you see expression $4/x$ (as part of a limit evaluation as $x\to \infty$) you can replace it by $0$ but rather the equation simply means that whenever you see the expression $\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{4}{x}$ you can replace it by $0$.

También tenga en cuenta que la técnica más habitual para este problema es multiplicar por el conjugado para obtener el límite de $$-\lim_{x\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1-(4/x)}+1}$$ Contrary to what many beginners believe we don't just ignore $4/x$ and get the answer as $-2$. Rather we work according to laws of algebra of limits. First step is to analyze the denominator. Note that we have $$\lim_{x\to\infty} 1-\frac{4}{x}=1- \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x}=1-0=1$$ and since the square root function is continuous at $1$ we get $$\lim_{x\to\infty} \sqrt{1-(4/x)}=\sqrt{\lim_{x\to\infty} (1-(4/x))}=\sqrt{1}=1$$ And then $$\lim_{x\to\infty}\sqrt{1-(4/x)}+1=1+1=2$$ Thus the denominator tends to a non-zero limit and hence the desired limit is $-4/2$. All of these steps are justified by a well known rule of algebra of limits. The entire working looks like we have just ignored $4/x$ but in reality a lot of laws are working behind the scenes to give the effect of ignoring $4/x$.

Si no nos multiplicar por el conjugado y en lugar de centrarse en la expresión $$\lim_{x\to\infty} x(\sqrt{1-(4/x)}-1)$$ then we have a problem as we can't use the product rule of limits to write the above as $$\lim_{x\to\infty} x\cdot\lim_{x\to\infty} (\sqrt{1-(4/x)}-1)$$ no tenemos manera de proceder, a menos que apliquemos algunas de manipulación algebraica en la expresión por debajo del límite.

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Normalmente uno no tiene que molestarse con todos estos detalles, mientras que la evaluación de los límites en el paso a paso de la manera. Pero debemos tener en cuenta las limitaciones de álgebra de límites. Usted puede echar un vistazo a esta respuesta que da el quid de estos límite de las leyes en una muy útiles y de forma simple.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\lim_{x\to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x\to a} g(x)$$ when both limits ($\lim_{x \to un} $ and $\lim_ f (x) {x \to un} g(x)$) existen y son finitos. En tu caso, no podemos aplicar la fórmula anterior como uno de los límites es infinito.

$$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt {1 - 4/x} - 1) \neq \lim_{x \to \infty} x \cdot \lim_{x \to \infty}(\sqrt {1 - 4/x} - 1).$$

Answer 3

La cuestión es que mientras es $\sqrt{1-\frac4x}-1$ $0$, el factor $x$ está ilimitadamente grande. Por lo que no está claro qué va a pasar. Este tipo de límite se llama una forma indeterminada por eso.

Un ejemplo más simple de la misma clase de cosa es:

$\lim_{x\to\infty}(x\cdot \frac1x)$.

El segundo factor, $\frac1x$, va a $0$ (al igual que en tu ejemplo), pero el primer factor crece ilimitadamente. Claramente en este ejemplo, el límite es de $1$, no $0$.

Answer 4

En su intento son llegar a una relación de la forma $0 \times \infty$ que aún no está definido.

Por lo que no puede concluir que es cero.

Pero usted puede hacer esto si quieres:

$\sqrt{x^2-4x}-x=\frac{(\sqrt{x^2-4x}-x)(\sqrt{x^2-4x}+x)}{\sqrt{x^2-4x}+x}=\frac{-4x}{\sqrt{x^2-4x}+x}=\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}+1} \to -2$

$x \to +\infty$

Answer 5

Por el desarrollo de Taylor, $\sqrt{1-\epsilon}\approx1-\dfrac\epsilon2$. Por lo tanto, mantener este $\epsilon$, el límite es de $-2$.

Declarando un término despreciable era prematuro.