Demostrar que $\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac1k\sum\limits_{n=1}^k\left\lfloor\frac kn\right\rfloor-\ln k\right)=2\gamma-1$

Question

Demuestra que $$\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac1k\sum\limits_{n=1}^k\left\lfloor\frac kn\right\rfloor-\ln k\right)=2\gamma-1$$

He aproximado este límite con python:

import math

len = 10000000000

ans = 0.0
x = 1
while (x

`Si alguien sabe algo sobre este límite, me interesaría mucho saberlo. Se me ocurrió cuando pensaba en la Constante de Euler-Mascheroni que está definida de manera similar.

La principal diferencia aquí es que he redondeado las armónicas hacia abajo a valores que forman intervalos discretos de [0,1].

Parece que este límite es uno menos que dos veces la Constante de Euler-Mascheroni, o al menos muy cercano según el programa que escribí. Si alguien pudiera demostrar esto o sugerirme alguna manera de intentar hacerlo, eso sería genial.

Expresado de manera más clara donde L es el límite y es la Constante de Euler-Mascheroni:

L = 2-1`

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\tag{1}\frac1k\sum\limits_{n=1}^k\left\lfloor\frac kn\right\rfloor-\ln k = -\frac1k\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{k}{n}-\left\lfloor\frac kn\right\rfloor\right)-\left( \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} - \ln k\right).$$

Tenemos

$$\lim_{k \to\infty}\left( \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} - \ln k\right) = \gamma,$$

y el primer término en el lado derecho de (1) es una suma de Riemann que converge a

$$\lim_{k \to\infty}-\frac1k\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{k}{n}-\left\lfloor\frac kn\right\rfloor\right) = - \int_0^1 \left\{\frac{1}{x} \right\}\, dx, $$

donde $\{ \cdot \}$ denota la parte fraccionaria.

Queda por demostrar que la integral es igual a $\gamma - 1$.

Esto se sigue de

$$\begin{align}\int_0^1 \left\{\frac{1}{x} \right\}\, dx &= \int_1^\infty \frac{\{y\}}{y^2}\, dy \\ &= \sum_{k=1}^\infty \int_k^{k+1} \frac{y-k}{y^2} \, dy \\ &= \sum_{k=1}^\infty \left( \ln \frac{k+1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\ln \frac{k+1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(\ln (n+1) - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}\right) \\ &= 1 - \gamma \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\lim_{k \to \infty} \left(\frac1k\sum\limits_{n=1}^k\left\lfloor\frac kn\right\rfloor-\ln k \right) = \gamma -1 + \gamma = 2 \gamma -1$$

Answer 2

Bueno, no creo que tu código de Python tenga un error.

Para probarlo, tienes que usar la fórmula asintótica de Dirichlet (Teorema 3.3). (Puedes ver la teoría analítica de números de Apostol en la página $57$). No quiero decirte cómo probar esa fórmula (porque se puede encontrar en el libro, no vale la pena). Sólo te diré cómo usarla (Ver imagen).

$d(n)$ significa función divisor, es igual a cuántos divisores tiene $n$.

Ahora evalúa $S_1= \sum\limits_{n \leq k}d(n)$. ¿Es igual a $S_2=\sum\limits_{n=1}^k\lfloor\frac{k}{n}\rfloor$? Si la respuesta es Sí, podemos reducirlo al teorema mostrado en la imagen (Teorema $3.3$). La respuesta es en realidad sí. Para $n=1$, $k$ enteros positivos no más de $k$ tienen divisor $1$, para $n=2$, $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ enteros tienen divisor $2$. para $n=3,4,...,k$, los casos son casi iguales. Por lo tanto, $S_1=S_2$, la fórmula asintótica de Dirichlet entra en juego (podemos reducir tu problema al teorema 3.3 en la imagen).

Bueno, la respuesta muestra que tu problema tiene un trasfondo en teoría de números.