Cómo probar la integridad de los armónicos esféricos

Question

De Laplace de la armónicos esféricos "forman un conjunto completo de funciones ortonormales y por lo tanto forman una ortonormales base del espacio de Hilbert de cuadrado integrable funciones" [1]. Tengo tres preguntas relacionadas con esta declaración:

(1) yo puedo demostrar sus orthonormality, pero ¿cómo demostrar que forman un conjunto completo?

(2) ¿Qué es la integridad significa para un conjunto con un número infinito de elementos?

(3) ¿Cómo la afirmación de que los armónicos esféricos formar una ortonormales base del espacio de Hilbert de cuadrado integrable de sus funciones siguen siendo un completo conjunto de orthornormal funciones?

Answer 1

Yo creo que lo más accesible argumento para la integridad de los armónicos esféricos es comenzar con la aproximación de Weierstrass teorema que afirma que en subconjuntos compactos $E$ $R^n$ polinomios son densos en _sup_norm_, es decir, la métrica en funciones de $d(f,g)=\sup_{x\in E} |f(x)-g(x)|$. Esto se aplica a la esfera de $E=S^{n-1}$. En algún punto del desarrollo (como en el capítulo correspondiente de Stein-Weiss, por ejemplo), se muestra que cada polinomio homogéneo $f$ puede ser escrito como $f=f_d + r^2f_{d-2} + r^4f_{d-4}+\ldots$ donde $f_i$ es armónica, y $r$ es radio. Por lo tanto, restringido a la esfera, cada polinomio es pointwise-igual a un armónico polinomio. La combinación de estos dos puntos, armónica polinomios son densos en funciones continuas sobre la esfera, con respecto a sup-norma.

En función de lo que la definición de "integral", uno de los usos, una muestra que las funciones continuas sobre la esfera son densos en $L^2$, de manera armónica los polinomios son densos en $L^2$. Entonces es un pequeño ejercicio para inferir integridad.

Un poco más sofisticado punto de vista nos tenga en cuenta que la esfera es un espacio homogéneo $S^{n-1}=SO(n)/O(n-1)$ ortogonal de los grupos, (pensando en términos de Frobenius reciprocidad) las representaciones de $SO(n)$ comparecencia, que se restringen a la trivial repn en $O(n-1)$, con multiplicidad igual a la dimensión de $O(n-1)$-fijo vectores, que se encuentra a $1$ (o $0$). La exhaustividad en esta versión de la historia es parte de la general de la descomposición de $L^2(SO(n))$ (en el pacto (Hilbert-Schmidt) operadores procedentes de compacto-compatible funciones continuas en el grupo), y, en su lugar, el problema se convierte en la identificación de irreducibles correspondientes a los armónicos esféricos. Esta es probablemente la mejor manera de hacer mediante el hecho de que cada irreducible tiene un mayor peso, y, por el contrario, el isomorfismo de las clases está determinada únicamente por los más altos pesos. Este aficionado punto de vista se aplica de manera más amplia.