Resolver el ecuación diofántica del $3\,{a}^{3}b-13\,{b}^{3}-26\,a-24\,b=0.$

Question

¿Resolver el ecuación diofántica del $3\,{a}^{3}b-13\,{b}^{3}-26\,a-24\,b=0.$ he encontrado dos soluciones obvias $a=b=0$ y $a=b=5.$ existen otras soluciones?

Answer 1

Tratemos de encontrar un valor distinto de cero soluciones de la ecuación de Diophantine.

Vamos $$c=\gcd(a,b),\quad a=cx,\quad b=cy,$$ entonces $$x(3c^3x^2y-26)=y(13c^2y^2+24),$$ $$y\,|\,(3c^3x^2y-26),\quad y\,|\, 26,$$ $$3c^3x^3-\dfrac{26}yx = 13c^2y^2 + 24,\quad y\in\{\pm1,\pm2,\pm13,\pm26\}.$$ Teniendo en cuenta que los valores de $y$ la función implícita $x(c)$ es la asíntota en los ejes de coordenadas y que los valores negativos de $c$ corresponden a los valores opuestos $y,$ estamos en cada valor de $ y $ puede conseguir todo entero soluciones de esta ecuación $(1)$.

Todos los valores de $(x,y),$ da $c\gtrsim 5,$ obtenido con el uso de Mathcad paquete, son los siguientes:

Con el graphic1 para $y=\pm1,$ graphic2 para $y=\pm2,$ graphic3 para $y=\pm13$ y graphic4 para $y=\pm26$ tenemos todos los posibles entero raíces para $x,y,c$.

Entre ellos sólo $c(1,1) = 5$ es un entero. La sustitución de $a=b=5$ a la ecuación original muestra que esta es la solución correcta.

Así $$\boxed{(a=0,b=0) \vee (a=5,b=5)}$$ son todos los enteros soluciones de la Diofantine ecuación.

Nota

Por supuesto, en cada uno de estos casos, nos puede mostrar la presencia o ausencia de entero raíces de uso Racional de la Raíz Teorema. Sin embargo, en este caso, que parece muy técnico y la sobrecarga de la lógica principal de la prueba.