Mostrar que $B$ es ilimitada

Question

Que $X$ un espacio de Banach de dimensión infinita. Demuestran que cualquier conjunto abierto $B$, $B \neq \emptyset$, es ilimitada en la topología débil.

Answer 1

Recordar que si $X$ es una normativa espacio, podemos definir lineal continua y funcionales (con respecto a la norma) y denotan $X^*$ esta colección. La débil topología es la más económica de la topología de decisiones continua de cada uno de los elementos de $X^*$.

Si $O$ es un subconjunto abierto que contiene a$0$, $0$ admite un básico vecindario $V$$O$, es decir, un elemento de la forma $$V=\bigcap_{j=1}^N\{x,|f_j(x)|<r\},$$ donde $f_j\in X^*$ $r$ es positivo.

Por lo tanto $V$ contiene $\bigcap_{j=1}^N\ker f_j$, y así no $O$. Desde $X$ es de infinitas dimensiones que podemos encontrar $x_0\neq 0$ tal que $f_j(x_0)=0$ todos los $j\in \{1,\dots,N\}$. Por lo tanto $O\supset \{\lambda x_0,\lambda\in\Bbb R\}$.