Conversión de decimal de repetición en base b a una fracción de la misma base

Question

El decimal de repetición.36666... en base 8 puede escribirse en una fracción en base 8. Entiendo patrones simples como 1/9 en base 10 es.1111... 1/7 en base 8 es.1111. Pero no estoy muy seguro de cómo convertir este decimal en base a la fracción en la misma base.

Answer 1

$$\begin{align} 0.3\bar{6}_8 &= \frac{3}{8} + 6\left(\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3} + \cdots\right)\\ &= \frac{3}{8} + \frac{6}{8^2}\left(1+\frac{1}{8}+ \frac{1}{8^2} +\cdots\right)\\ &= \frac{3}{8} + \frac{6}{8^2}\frac{1}{1-(1/8)} & \text{geometric series}\\ &= \frac{3}{8} + \frac{3}{28}\\ &= \frac{27}{56}\\ &= \frac{33_8}{70_8}. \end{align}$$

Answer 2

Que podría hacer todo su pensamiento en base 8. Para guardar todos los subíndices de la escritura en los cómputos siguientes yo te omite la designación base 8. Las cifras legales tienen $0$ a través de $7$. Es un poco mindbending, pero sólo porque estamos acostumbrados a base 10.

Que $x=0.3666\ldots$. Entonces

$$10 x = 3.666\ldots = 3 + 6/7 = (25 + 6) / 7 = 33/7$$

así $x=33/70$.

Usé lo que multiplicando por 10 solo cambia el punto de "decimal", $3 \times 7 = 25$ y $6/7 = 0.66\ldots$.

Answer 3

Usamos el subíndice $8$ para denotar la base $8$ números, y todos los otros números son base $10$. Tomar el $x = 0.3\overline{6}_8$. Entonces $7x = 8x - x = 3.\overline{6}_8 - 0.3\overline{6}_8 = 3.3_8 = 27/8$. Sigue que $x = 27/56 = 33_8/70_8$.

Answer 4

Se calcula directamente en base $8$ como base $10$:

Conjunto de $y=0.3666\dots$, $x=0.666\dots$. \begin{align*}8y&=3+0.666\dots=3+x\\ 8x&=6.666\dots=6+x \end{Alinear *} así $$7x=6,\quad\text{so}\enspace x=\frac 67\enspace\text{and}\enspace 8y=3+\frac 67=\frac{3\times 7+6}7=\frac{25+6}7 =\frac{33}7, porque en % base $8$, $\;3\times 7=25,\;5+6=13$, para que finalmente $\; y=\dfrac{33}{8\times7}=\color{red}{\dfrac{33}{70}}$.