Prueba $\frac{1}{2}(n+1)<\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^{n-1}}$ sin inducción

Question

Quiero mostrar que $\displaystyle\frac{1}{2}(n+1)<\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^{n-1}}$. ¿Pero excepto inducción, no sé cómo podía demostrarlo?

Answer 1

Parece mucho a la aproximación de Stirling para el factorial. Piden Mostrar $\frac{n+1}{2} \lt \frac {n! e}{\sqrt{2\pi}}$ en esa aproximación, y $n!$ crece muy rápido. Para poder utilizar Stirling % grande $n$, tal vez complementado con cálculos específicos para pequeños $n$.

Answer 2

Esto es equivalente a mostrar %#% $ #%

Que %#% $ #%

A continuación, $$n \leq 2 \frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^{n-1}}-1 = 2\left(\frac{n^{n}n^{1/2}e}{e^n}\right)-1 $ (es decir, encontrar los puntos críticos y uso criterio de la derivada primera).

Answer 3

Si $n\ge3$, $\frac12(n+1)<n$ y $n\ge\mathrm{e}$ por lo tanto, $n^{n-1}\ge\mathrm{e}^{n-1}$ y es suficiente para demostrar que $n<n^{3/2}$, que es obviamente cierto. A continuación, puede comprobar manualmente el % de casos $n=1$(para que la desigualdad terminante es falsa, por cierto) y $n=2$.