Una función continua en el círculo con series de Fourier divergentes.

Question

Actualmente estoy leyendo el libro de análisis de Fourier y he aprendido que toda función continua sobre el círculo puede ser aproximada uniformemente por polinomios trigonométricos, utilizando el núcleo de Fejer.

Después, también he leído que existe una función continua en el círculo con series de Fourier divergentes en algún punto.

Entonces, lo que me confunde es que si el polinomio trigonométrico se aproxima uniformemente a la función dada entonces debe ser convergente a la serie de Fourier, ya que la serie de Fourier es la expresión que utiliza bases ortonormales en el espacio de Hilbert dado y por lo tanto la mejor aproximación en el sentido del cuadrado medio. ¿En qué me equivoco? ¿La serie de Fourier es sólo la mejor aproximación en el sentido cuadrático medio, no en el sentido uniforme?

Answer 1

Que la serie de Fourier sea divergente y que la serie obtenida mediante el núcleo de Fejer sea convergente no se contradice. La razón por la que se necesita un núcleo de sumabilidad (Fejer, Gaussiano, etc) es porque en general la serie de Fourier es divergente. De hecho, existe un conjunto no-meager de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en un conjunto denso. (Aproximación en el $L^2$ -sentido y aproximación puntual son nociones diferentes).

La diferencia entre un núcleo de sumabilidad y el núcleo de Dirichlet (que da la serie de Fourier) es que el primero forma una unidad aproximada en el álgebra de grupos mientras que el segundo no.

Answer 2

Sí, la serie de Fourier no suele dar las mejores aproximaciones en el sentido uniforme. Para un ejemplo sencillo, considere $f(x) = \cos(x) + \cos(2x)$ . La constante que mejor se aproxima a esto en el sentido del cuadrado medio es $0$ (el término constante de la serie de Fourier). Esto tiene error $2$ en $x=0$ . Pero $1$ es una mejor aproximación uniforme.