¿Cómo saber de qué dimensión es un objeto?

Question

Estaba leyendo sobre dimensiones y en el artículo de Wikipedia se afirma lo siguiente:

En matemáticas, la dimensión de un objeto es una propiedad intrínseca independiente del espacio en el cual el objeto está incrustado. Por ejemplo, un punto en el círculo unitario en el plano puede ser especificado por dos coordenadas cartesianas, pero una sola coordenada polar (el ángulo) sería suficiente, por lo que el círculo es $1$-dimensional aunque exista en el plano $2$-dimensional. Esta noción intrínseca de dimensión es una de las principales maneras en las que la noción matemática de dimensión difiere de sus usos comunes."

Tomado del artículo _Dimensión_ en Wikipedia.

¿Cómo podría saber si un cuadrado es un objeto $2$D (lo cual estoy seguro de que probablemente lo es), o que un círculo es $1$D (que anteriormente creía que era $2$D)?

¿Existe alguna manera para que cualquier objeto pueda saber de qué dimensión es?

Realmente no sé cómo etiquetar esta pregunta, lo siento.

Answer 1

El concepto de dimensión es sorprendentemente sutil. Las matemáticas inventadas por Georg Cantor y sus contemporáneos mostraron famosamente que, contrariamente a la intuición, es posible especificar un punto en el espacio $2$-dimensional utilizando solo un número real. Para hacer esto preciso, necesitamos el concepto de una función biyectiva. Lo que muestran las matemáticas de Cantor es que, contrariamente a la intuición, existen (muchas) bijecciones $$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}.$$

En cierto sentido, esto significa que el conjunto $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ es (muy paradójicamente) "no más grande" que $\mathbb{R}$.

Para empeorar las cosas, Giuseppe Peano (nacido 13 años después de Cantor) logró construir una curva que llena el espacio; una función continua $$[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$$ que, de manera bastante milagrosa, logra ser sobreyectiva.

Lo que todo esto significa es que, como dije, el concepto de dimensión es bastante sutil. Uno podría especular que, fundamentalmente, este concepto realmente no tiene sentido. La buena noticia es que, de hecho, el concepto de dimensión sí tiene sentido. La mala noticia es que la definición es bastante complicada y necesita ser construida en dos etapas.

En la primera etapa, establecemos el concepto de dimensión en álgebra lineal.

Necesitamos los siguientes conceptos:

• espacio vectorial

• base

La definición es:

Proposición 0. Sea $V$ un espacio vectorial. Entonces $V$ tiene una base, y todas las bases de $V$ tienen el mismo número de elementos, y (Definición.) llamamos a este número la dimensión de $V$.

Ejemplo. La dimensión del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ es $n$.

Hay que tener en cuenta que, en toda generalidad, la dimensión de $V$ es un número cardinal, un concepto inventado por Cantor para domar el caos de los conjuntos infinitos. Sin embargo, para los propósitos de la geometría básica, generalmente podemos asumir que $V$ es finito-dimensional, en cuyo caso la dimensión de $V$ siempre será un número natural.

En la segunda etapa, establecemos el concepto de dimensión en geometría diferencial. Esta parte es mucho más complicada.

Necesitaremos los siguientes conceptos:

• variedad (a veces llamada una variedad suave, o equivalentemente, una variedad diferenciable).
• espacio tangente

Definición. Sea $M$ una variedad suave y $x$ un elemento de $M$. Entonces la dimensión de $M$ en $x$ es, por definición, la dimensión del espacio tangente de $M$ en $x$, visto como un espacio vectorial.

Resulta que

Proposición 1. Sea $M$ una variedad. Si $M$ es conectado, entonces existe un número natural $n$ tal que para todos los puntos $x$ en $M$, la dimensión de $M$ en $x$ es igual a $n$, y (Definición.) llamamos a $n$ la dimensión de $M$.

Ejemplo. La dimensión de la variedad $\mathbb{R}^n$ es $n$.

Para finalmente responder tu pregunta, necesitaremos dos conceptos más:

• subvariedad
• conjunto abierto

Ahora:

• el intervalo abierto $A=(0,1)$ puede ser visto como una subvariedad de $\mathbb{R}$
• el cuadrado abierto $B=(0,1) \times (0,1)$ puede ser visto como una subvariedad de $\mathbb{R}^2$
• el círculo unitario $C = \{x \in \mathbb{R}^2 : \|x\|=1\}$ puede ser visto como una subvariedad de $\mathbb{R}^2$.

Esto implica que cada uno de $A,B$ y $C$ puede ser considerado como variedades por sí mismos. Además de esto, resultan estar conectados; y, por lo tanto, tienen una dimensión bien definida; es decir, $1,2$ y $1$ (respectivamente). Los dos primeros de estos números son fáciles de obtener; dado que $A$ y $B$ son subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ respectivamente, por lo tanto tienen dimensión $1$ y $2$ respectivamente. La dimensión de $C$ es un poco más difícil de encontrar, porque no es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$. Pero tu intuición generalmente es bastante confiable cuando se trata de estas cosas; si tu cerebro te dice que la dimensión de $C$ es $1$, entonces probablemente la dimensión de $C$ es $1". Quizás esto explica en parte por qué a las matemáticas les llevó tanto tiempo darle al concepto de dimensión un tratamiento adecuado y riguroso; tal vez sea porque la intuición sola suele ser suficiente para obtener la respuesta correcta, incluso si realmente no sabes lo que esa respuesta significa en un sentido preciso y técnico.

Answer 2

Mientras que la respuesta del duende es correcta, es un poco específica. Una noción más común es la dimensión de recubrimiento, que se aplica en más situaciones y es un poco más fácil de entender.

Primero empezamos con la noción de conjunto abierto. Un conjunto abierto es aquel que no contiene ningún punto en su borde. Por ejemplo, el conjunto de puntos a menos de $1$ de distancia de $(0,0)$ es abierto, porque el borde es el conjunto de puntos exactamente a $1$ de distancia de $(0,0)$, y ese conjunto es disjunto del primero. El conjunto de puntos a menos o igual a $1$ de distancia de $(0,0)$ no es abierto, ya que contiene algunos puntos, en realidad todos los puntos, que están en su borde.

Ahora, si tomas una línea y la cubres con manchas que son conjuntos abiertos, habrá algunos puntos cubiertos por $2$ manchas. Como los conjuntos abiertos no contienen sus bordes, si intentas ponerlos uno al lado del otro, tienen que superponerse o tener espacio entre ellos. Si haces lo mismo con el plano, algunos puntos serán cubiertos por $3$ manchas. Si haces lo mismo con el espacio, algunos serán cubiertos por $4$, etc...

Entonces básicamente, la dimensión del espacio es el número máximo de manchas para cubrir un punto menos $1$.

Pero necesitamos tener en cuenta una cosa más. Toma un círculo. Si lo cubres con pequeñas manchas, algunos de sus puntos tendrán que ser cubiertos por $2$ manchas, por lo que es de $1$ dimensión. Pero también notarás que podrías cubrir todo el círculo con una sola mancha grande, lo que sugiere que es de $0$ dimensiones. Por esta razón, requerimos que las manchas sean arbitrariamente pequeñas.

Pero ¿qué pasa si no tenemos una noción de tamaño en nuestro espacio? No hay problema. Lo que decimos es que un espacio es de dimensión $d$, si cuando cubres todo con manchas que son conjuntos abiertos, puedes encoger las manchas (reemplazarlas con un subconjunto que también es un conjunto abierto) de tal manera que cada punto esté cubierto por como máximo $d+1$ manchas.

Observa cómo todo esto solo necesitó una noción de bordes de conjuntos. No necesitamos definir distancia ni nada más, solo bordes.

También ten en cuenta que si vemos el círculo como un espacio en sí mismo, esto aún funciona. Los bordes de un conjunto de puntos en el círculo son simplemente los puntos finales que tenga. La dimensión del círculo será la misma ya sea considerada como parte del plano o como un espacio en sí mismo.

Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_covering_dimension para más detalles.

Answer 3

Un cuadrado en realidad es 1 dimensional, ya que puedes usar un solo parámetro para moverte alrededor de los bordes del cuadrado. Básicamente, la dimensión es la cantidad mínima de parámetros que necesitas para describir un punto en el espacio. Para algo más complicado, necesitas adentrarte en la definición de variedades y diferomorfismos locales

Answer 4

En topología hay 3 tipos principales de dimensiones: dimensión inductiva pequeña (ind), dimensión inductiva grande (Ind) y dimensión de cobertura. Como dice el artículo, estas son propiedades intrínsecas (internas) de un espacio, no afectadas por ningún espacio en el que esté incrustado. También está la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, que depende del espacio de incrustación y puede tener valores fraccionarios. En álgebra, la palabra también tiene otros significados.

En un espacio topológico $S$, una base de vecindario para un punto $p\in S$ es una familia $F$ de conjuntos abiertos, cada uno conteniendo a $p$, de manera que para cualquier vecindario $U$ de $p$, existe $f\in F$ con $f\subset U.

La dimensión inductiva pequeña ind$(S)$ es $0$ si y solo si (1) $S=\phi$ o (2) cada $p\in S$ tiene una base de vecindario $F$ tal que para todo $f\in F$ $(\partial f=\phi)$.

Y ind$(S)=n+1$ si y solo si (1) $\neg (\text{ind}(S)\leq n)$ y (2) cada $p\in S$ tiene una base de vecindario $F$ tal que para todo $f\in F$ (ind$(\partial f)\leq n)$.

Y si $\neg (\text{ind}(S)=n)$ para cada $n\in \mathbb{N}$ entonces ind$(S)=\infty$.

Nota: $\;\partial f=\bar{f}\cap \overline{S\backslash f}$.